Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

164
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−++
=++−+
=+++−
.0)1(
0)1(
0)1(
33
3
3
2
3
1
22
3
2
2
2
1
11
3
1
2
1
1
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
(17.6)
Составим основную и расширенную матрицу этой системы уравнений:
,
1
1
1
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
ааа
ааа
ааа
А
.
1
1
1
`
33
3
3
2
3
1
22
3
2
2
2
1
11
3
1
2
1
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
bааа
bааа
bааа
А
Обозначим через r ранг основной матрицы, а через r` ранг расширенной
матрицы. Исследуем следующие возможные случаи:
1.
Если r = 3, то система уравнений (17.6) имеет единственное решение.
Значит, аффинное преобразование
f имеет только одну инвариантную точку.
2.
Если r = 2, r` = 3, то система уравнений (17.6) решений не имеет. Зна-
чит, аффинное преобразование
f инвариантных точек не имеет.
3.
Если r = 2, r` = 2, то система (17.6) имеет бесчисленное множество ре-
шений. Значит, аффинное преобразование
f имеет прямую инвариантных точек.
4.
Если r = 1, r` = 1, то система (17.6) имеет бесчисленное множество ре-
шений. Значит, аффинное преобразование
f имеет плоскость инвариантных то-
чек.
5.
Если
0 ,1 ,1 ,1
3213
3
2
2
1
1
====== bbbааа
, ====
2
3
2
1
1
3
1
2
aaaa =
3
1
a
=
0
3
2
=a то аффинное преобразование f является тождественным преобразовани-
ем.
Вопросы для самопроверки
1.
Какое отображение плоскости (пространства) на себя называется аф-
финным преобразованием?
2.
Что можно сказать об образах трех точек плоскости, не лежащих на од-
ной прямой при аффинном преобразовании?
3.
Что можно сказать об образах четырех точек пространства, не лежащих
в одной плоскости при аффинном преобразовании пространства?
4.
В какую фигуру при аффинном преобразовании пространства перехо-
дит плоскость, прямая?
5.
Как изменяется простое отношение трех точек, лежащих на одной пря-
мой, при аффинном преобразовании?
6.
Изменяется ли отношение «лежать между» при аффинных
преобразованиях?
7.
Что может служить образом луча; отрезка; полуплоскости; полупро-
странства при аффинном преобразовании? 
                                              164

                               ⎧(a11 − 1) x + a12 y + a31 z + b1 = 0
                               ⎪⎪ 2         2            2      2
                                ⎨a1 x + (a2 − 1) y + a3 z + b = 0                         (17.6)
                                ⎪ 3       3        3            3
                                ⎪⎩a1 x + a2 y + (a3 − 1) z + b = 0.
       Составим основную и расширенную матрицу этой системы уравнений:
                 ⎛ а11 − 1 а12     а31 ⎞    ⎛ а11 − 1 а12   а31 b1 ⎞
                 ⎜                       ⎟  ⎜                          ⎟
             А = ⎜ а12
                          а2 − 1 а3 ⎟, А` = ⎜ а1 а2 − 1 а3 b ⎟.
                           2         2             2  2        2     2
                 ⎜                       ⎟  ⎜                          ⎟
                 ⎜ а13      а 3
                                а 3
                                    −  1 ⎟  ⎜    а 3
                                                      а 3
                                                          а 3
                                                              −  1 b 3 ⎟
                 ⎝            2  3       ⎠  ⎝ 1         2  3           ⎠
        Обозначим через r ранг основной матрицы, а через r` ранг расширенной
матрицы. Исследуем следующие возможные случаи:
        1. Если r = 3, то система уравнений (17.6) имеет единственное решение.
Значит, аффинное преобразование f имеет только одну инвариантную точку.
        2. Если r = 2, r` = 3, то система уравнений (17.6) решений не имеет. Зна-
чит, аффинное преобразование f инвариантных точек не имеет.
        3. Если r = 2, r` = 2, то система (17.6) имеет бесчисленное множество ре-
шений. Значит, аффинное преобразование f имеет прямую инвариантных точек.
        4. Если r = 1, r` = 1, то система (17.6) имеет бесчисленное множество ре-
шений. Значит, аффинное преобразование f имеет плоскость инвариантных то-
чек.
        5. Если      а11 = 1, а22 = 1, а33 = 1, b1 = b 2 = b3 = 0 , a12 = a31 = a12 = a32 = a13 =
= a 23 = 0 то аффинное преобразование f является тождественным преобразовани-
ем.

       Вопросы для самопроверки

      1. Какое отображение плоскости (пространства) на себя называется аф-
финным преобразованием?
      2. Что можно сказать об образах трех точек плоскости, не лежащих на од-
ной прямой при аффинном преобразовании?
      3. Что можно сказать об образах четырех точек пространства, не лежащих
в одной плоскости при аффинном преобразовании пространства?
      4. В какую фигуру при аффинном преобразовании пространства перехо-
дит плоскость, прямая?
      5. Как изменяется простое отношение трех точек, лежащих на одной пря-
мой, при аффинном преобразовании?
      6. Изменяется ли отношение «лежать между» при аффинных
преобразованиях?
      7. Что может служить образом луча; отрезка; полуплоскости; полупро-
странства при аффинном преобразовании?

Страницы