Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

162
Доказательство. На плоскости зададим ПДСК jiO и рассмотрим тре-
угольник АВС, заданный координатами своих вершин
) ,(
11
yxA , ),(
22
yxB ,
) ,(
33
yxC . Тогда площадь этого треугольника может быть вычислена по формуле
1313
1212
mod
2
1
yyxx
yyxx
S
ABC
−−
−−
=
.
Под действием аффинного преобразования плоскости, определяемого фор-
мулами (17.5) , треугольник АВС перейдет в треугольник A`B`C` вершины ко-
торого относительно ПДСК
jiO имеют следующие координаты:
),`(
212
2
12
1
111
2
11
1
byaxabyaxaA ++++ , ),`(
222
2
22
1
121
2
21
1
byaxabyaxaB ++++ ,
),`(
232
2
32
1
131
2
31
1
byaxabyaxaC ++++ . Тогда площадь треугольника A`B`C` равна
)()()()(
)()()()(
mod
2
1
132
2
132
1
131
2
131
1
122
2
122
1
121
2
121
1
```
yyaxxayyaxxa
yyaxxayyaxxa
S
CBA
−+−−+−
−+−−+−
=
.
Поскольку
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
⋅=
−+−−+−
−+−−+−
1313
1212
2
2
2
1
1
2
1
1
132
2
132
1
131
2
131
1
122
2
122
1
121
2
121
1
mod
)()()()(
)()()()(
mod
yyxx
yyxx
aa
aa
yyaxxayyaxxa
yyaxxayyaxxa
,
то
2
2
2
1
1
2
1
1
```
mod
2
1
aa
aa
SS
ABCCBA
⋅= . Таким образом,
2
2
2
1
1
2
1
1
```
mod
aa
aa
S
S
ABC
CBA
= .
Среди аффинных преобразований пространства особо выделяют преобра-
зования, задаваемые относительно аффинного репера
R ={O, A
1
, A
2
, A
3
} фор-
мулами:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
+=
zz
zyy
zxx
`
, `
, `
(17.6)
Такие преобразования пространства называются сдвигами вдоль плоско-
сти. Аффинное преобразование, задаваемое формулами (17.3) определяет сдвиг
вдоль координатной плоскости
Оху. При таком преобразовании прямая d, на-
пример, параллельная оси аппликат перейдет в прямую
d`. Прямые, проходя-
щие через соответственные точки этих прямых, параллельны координатной
плоскости
Оху.
z d
M
d`
M` 
                                                                     162

           Доказательство. На плоскости зададим ПДСК O i j и рассмотрим тре-
угольник АВС, заданный координатами своих вершин A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,
C ( x 3 , y 3 ) . Тогда площадь этого треугольника может быть вычислена по формуле
                                                     1   x 2 − x1              y 2 − y1
                                              S ABC = mod 3                                    .
                                                     2   x − x1                y 3 − y1
          Под действием аффинного преобразования плоскости, определяемого фор-
мулами (17.5) , треугольник АВС перейдет в треугольник A`B`C` вершины ко-
торого относительно ПДСК O i j                                    имеют следующие координаты:
A`(a1 x + a2 y + b , a1 x + a2 y + b ) ,
     1 1       1 1       1    2 1       2 1      2
                                                                      B`(a11 x 2 + a12 y 2 + b1 , a12 x 2 + a22 y 2 + b 2 ) ,
C `(a11 x 3 + a12 y 3 + b1 , a12 x 3 + a22 y 3 + b 2 ) . Тогда площадь треугольника A`B`C` равна


                                1   a11 ( x 2 − x1 ) + a12 ( y 2 − y1 )              a12 ( x 2 − x1 ) + a22 ( y 2 − y1 )
                    S A`B `C ` = mod 1 3 1                                                                                  .
                                2   a1 ( x − x ) + a12 ( y 3 − y1 )                  a12 ( x 3 − x1 ) + a22 ( y 3 − y 1 )
         Поскольку

      a11 ( x 2 − x1 ) + a12 ( y 2 − y1 )      a12 ( x 2 − x1 ) + a22 ( y 2 − y1 )            ⎛ a1 a12 x 2 − x1                  y 2 − y 1 ⎞⎟
mod                                                                                      = mod⎜ 12     ⋅                                      ⋅
      a11 ( x 3 − x1 ) + a12 ( y 3 − y 1 )     a12 ( x 3 − x1 ) + a22 ( y 3 − y1 )            ⎜ a a 2 x 3 − x1                   y 3 − y 1 ⎟⎠
                                                                                              ⎝ 1    2

  ,

                  1                  a11     a12                                         S A`B `C `      a1 a12
то S A`B `C ` = S ABC ⋅ mod                        . Таким образом,                                 = mod 12    .
                  2                  a12     a22                                          S ABC          a1 a22



     Среди аффинных преобразований пространства особо выделяют преобра-
зования, задаваемые относительно аффинного репера R ={O, A1, A2, A3} фор-
мулами:
                                               ⎧ x` = x + z ,
                                               ⎪
                                               ⎨ y` = y + z,                                                                     (17.6)
                                               ⎪ z `= z
                                               ⎩
      Такие преобразования пространства называются сдвигами вдоль плоско-
сти. Аффинное преобразование, задаваемое формулами (17.3) определяет сдвиг
вдоль координатной плоскости Оху. При таком преобразовании прямая d, на-
пример, параллельная оси аппликат перейдет в прямую d`. Прямые, проходя-
щие через соответственные точки этих прямых, параллельны координатной
плоскости Оху.

                              z                                                         d
                                                                               M
                                                                                                                            d`

                                                                                                            M`

Страницы