Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 160 стр.

                                        160

      Доказательство. Рассмотрим отображение пространства на себя, при ко-
тором каждая точка М(x, y, z) с координатами (x, y, z) относительно аффин-
ного репера R = {O, A1, A2, A3} переходит в точку M` с теми же самыми ко-
ординатами          (x,     y,      z),     но         относительно       репера
R` = {O`, A`1, A`2, A`3}. Установленное таким образом соответствие является
инъективным и сюръективным одновременно, т.е. преобразованием про-
странства. Отметим, прежде всего, что это преобразование переводит ре-
пер R = {O, A1, A2, A3} в репер R` = {O`, A`1, A`2, A`3}. Теперь покажем, что это
преобразование сохраняет простое отношение трех точек, лежащих на одной
прямой. Для этого в пространстве произвольно возьмем какие-нибудь три точ-
ки, принадлежащие одной прямой. Обозначим их через М1, М2, М3. Пусть эти
точки                            относительно                             репера
R = {O, A1, A2, A3} имеют координаты: М1(x , y , z ), М2(x , y2, z2),
                                                       1    1  1       2

М3(x3, y3, z3). Предположим, что точка М3 делит отрезок М1М2 в отношении λ ≠
–1. Тогда для координат этих точек справедливы соотношения

                     3 x1 + λx 2 3 y1 + λy 2 3 z1 + λz 2
                   x =          ,y =        ,z =         .                    (17.3)
                        1+ λ         1+ λ        1+ λ
       Под действием нашего преобразования эти точки перейдут в точки М1`(x1,
y1, z1), М2`(x2, y2, z2), М3`(x3, y3, z3) с такими же координатами,
что и соответствующие им точки М1, М2, М3, но относительно репера
R` = {O`, A`1, A`2, A`3}. Значит, для координат точек M1`, M2`, M3` тоже справед-
ливы соотношения (17.3). Следовательно, точка М3` делит отрезок M1`М2` в том
же самом отношении, что и точка M3 делит отрезок М1М2. Таким образом, мы
показали, что построенное нами соответствие является аффинным преобразова-
нием пространства.
       Теперь покажем, что это единственное аффинное преобразование про-
странства, которое переводит аффинный репер R = {O, A1, A2, A3} в репер R` =
{O`, A`1, A`2, A`3}. Предположим, что существует два аффинных преобразования
f и g, переводящих репер R в репер R`. Докажем, что они совпадают. Для этого в
пространстве возьмем любую точку Р и покажем, что f(P) = g(P). Через точку Р
проведем прямую, пересекающую координатную плоскость ОА1А2 в точке Р3,
координатную плоскость ОА1А3 в точке Р2. По теореме 2 имеем: f(P3) = g(P3),
f(P2) = g(P2). Точки Р, Р3 и Р2 лежат на одной прямой, причем f(P3) = g(P3), f(P2) =
g(P2), следовательно, по теореме 1 f(P) = g(P).
       Теорема доказана.

      Рассмотрим аффинное преобразование f пространства, в котором задан
аффинный репер R ={O, A1, A2, A3}. В пространстве произвольно возьмем точку
М(x, y, z) с координатами (x, y, z) относительно репера R. Под действием аф-
финного преобразования точка М перейдет в некоторую точку M`(x`, y`, z`) с
координатами (x`, y`, z`) относительно того же самого репера R. Выразим коор-
динаты (x`, y`, z`) образа M` через координаты (x, y, z) его прообраза М при аф-
финном преобразовании f. В ходе доказательства теоремы 3 установлено, что