Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 159 стр.

                                       159

вой вектор a , непараллельный этой плоскости и задать некоторое положитель-
ное число k.
      Определение 3. Отображение пространства на себя при котором каждая
точка М переходит в точку М` такую, что прямая MM` параллельна вектору
a и пересекает плоскость π в точке М0 такой, что M 0 M ′ = k M 0 M называется ко-
сым сжатием пространства. Плоскость π называется плоскостью косого сжа-
тия, ненулевой вектор a направлением, а число k коэффициентом косого сжа-
тия.

     Используя свойства косого сжатия плоскости (пространства), можно
сформулировать некоторые свойства аффинных преобразований.


      Теорема 3. Пусть аффинные преобразования f1 и f2 переводят точки А и В
в точки A` и B`, соответственно. Тогда образ любой точки М, принадлежащей
прямой АВ, при отображении f1 совпадает с образом этой же точки при отобра-
жении f2, т.е. f1(M) = f2(M).
      Доказательство. Обозначим через M` образ точки М при отображении f1, а
через M`` образ точки М при отображении f2. Поскольку f1 и f2 –
аффинные преобразования, значит, они сохраняют простое отношение трех то-
чек. Таким образом, имеем
                 (АВ, М) = (A`B`, M`), (AB, M) = (A`B`, M``).
      Следовательно, (A`B`, M`) = (A`B`, M``). А это означает, что точки M` и
M`` делят один и тот же отрезок в одном и том же отношении, следовательно,
они совпадают.
      Теорема доказана.

       Теорема 4. Если аффинные преобразования f1 и f2 точки А, В, С, не лежа-
щие на одной прямой, переводят в точки A`, B`, C`, то для любой точки М, при-
надлежащей плоскости (АВС), проходящей через точки А, В, С, ее образ при
отображении f1 совпадает с образом этой же точки, но при отображении f2.
       Доказательство. Через любую точку М плоскости (АВС) проведем какую-
нибудь прямую m. Пусть эта прямая пересекает прямые АВ и ВС в точках P и
Q. Поскольку образы точек А, В и С при отображениях f1 и f2 совпадают, то по
теореме 1 имеем: f1(P) = f2(P), f1(Q) = f2(Q). Следовательно, опять же по теореме
1, f1(M) = f2(M).
       Теорема доказана.

     Теорема 5. Пусть в пространстве задано два аффинных репера
R = {O, A1, A2, A3} и R` = {O`, A`1, A`2, A`3}. Тогда существует одно и только од-
но аффинное преобразование f, которое переводит репер R в репер R`, при этом
любая точка М с координатами (x, y, z) относительно репера R переходит в точ-
ку M` с теми же самыми координатами (x, y, z), но относительно репера R`.