Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 157 стр.

                                           157

                                                                        ⎧ x`= x,
динаты которой связаны с координатами ее образа соотношениями: ⎨                 Из
                                                                        ⎩ y`= 0
этих соотношений следует, что точка М` совпадает со своим прообразом. Итак,
мы показали, что все точки, лежащие на прямой d, при косом сжатии плоскости
к этой прямой остаются неподвижными (инвариантными).
       Отметим, что косое сжатие плоскости, определяемое прямой d, вектором
a , непараллельным этой прямой и коэффициентом k позволяет строить образ
любой точки плоскости. Например, для того чтобы построить образ какой-
нибудь точки А при сжатии, определяемом прямой d, вектором a , непарал-
                                           1
лельным этой прямой и коэффициентом k=        можно использовать следующий
                                           2
способ. Через точку А проведем прямую параллельную вектору a . Обозначим
                                                                  1
через А0, точку пересечения этой прямой с осью d. Поскольку A0 A`= A0 A , то се-
                                                                  2
редина A` отрезка А0А служит образом точки А при косом сжатии. Аналогич-
ным образом, можно строить образы и прообразы точек при косом сжатии с
осью d , вектором a и произвольным коэффициентом k>0.
     Теперь на плоскости зададим прямую d и пару различных точек А и A`,
лежащих на прямой, непараллельной прямой d. Обозначим через А0 точку пере-
сечения прямой АА` с прямой d . Прямая d, вектор a = A0 A и положительное
            A0 A`
число k =           определяют косое сжатие плоскости. В этом случае обычно го-
            A0 A
ворят, что косое сжатие задано осью d и парой соответственных точек А и А`.
Построим образ какой-нибудь точки М при косом сжатии плоскости, заданном
осью d и парой соответственных точек А и А`.

                     A


                                       M

         A`
                                  M`
                             m

                                                                    d
                                                             P

Для этого через точки А и М проведем прямую. Пусть прямая АМ пересекает
ось d в некоторой точке Р. Прямая A`P служит образом прямой АР при косом
сжатии. Значит, образ точки М лежит на этой прямой. С другой стороны образ
M` точки М лежит на прямой m, проходящей через эту точку, и параллельной