Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 156 стр.

                                                           156



                           О                                                      х
                                                                        М0(х,0)

      Произвольно возьмем точку М(х,у). Под действием косого сжатия точка
М перейдет в некоторую точку M`(x`,y`). Выразим координаты x`,y` образа M`
через координаты x и y ее прообраза М. Прежде всего заметим, что точка М0
пересечения оси сжатия с прямой, проходящей через точку М параллельно оси
ординат, имеет относительно АСК Оху следующие координаты М0(х,0). По ко-
ординатам точек М0(х,0), M`(x`,y`), М(х,у) находим координаты векторов M 0 M `
и M 0 M . Имеем: M 0 M ` = {x`− x, y`} и M 0 M = {x − x, y}. Поскольку M 0 M ′ = k M 0 M ,
то
                                              ⎧ x`= x,
                                              ⎨                                        (17.1)
                                              ⎩ y`= ky
     Итак, мы показали, что относительно специальным образом выбранной
АСК косое сжатие определяется формулами (17.1).

       Теорема 1. Косое сжатие плоскости, определяемое прямой d, вектором a ,
непараллельным этой прямой и коэффициентом k является аффинным преобра-
зованием.
       Доказательство. На плоскости зададим АСК Оху так, чтобы ось абсцисс
Ох совпадала с осью d косого сжатия, а ось ординат Оу была параллельна век-
тору a . Тогда относительно этой системы координат косое сжатие определяется
формулами (1). Произвольно на плоскости возьмем три точки М1(х1,у1), M2(x2
,y2 ), М3 (х3 ,у3). Пусть точка М3 делит отрезок М1М2 в некотором отношении
λ ≠ −1 . Это значит, что M 1 M 3 = λ M 3 M 2 . Следовательно,
                                x1 + λx 2                  y 1 + λy 2
                         x3 =             ,         y3 =                              (17.2)
                                 1+ λ                        1+ λ
Умножим обе части последнего равенства на k. Получим, что
                        x1 + λx 2              ky1 + kλy 2
                    x =
                     3
                                  ,       ky =  3
                                                           .
                         1+ λ                    1+ λ
Откуда следует, что точка М`3 делит отрезок М`1М`2 в том же самом отношении
λ ≠ −1 , что и точка М3 делит отрезок М1М2.
      Теорема 2. Косое сжатие плоскости, определяемое прямой d, вектором a ,
непараллельным этой прямой и коэффициентом k имеет прямую неподвижных
точек.
      Доказательство. На плоскости зададим АСК Оху так, чтобы ось абсцисс
Ох совпадала с осью d косого сжатия, а ось ординат Оу была параллельна век-
тору a . Тогда относительно этой системы координат косое сжатие определяется
формулами (17.1). Произвольно возьмем точку М(х,0), лежащую на оси абсцисс.
Под действием косого сжатия она переходит в некоторую точку М`(х`,y`), коор-