Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 161 стр.

                                                          161

всякое аффинное преобразование пространства переводит аффинный репер в
аффинный. Таким образом, данный аффинный репер R ={O, A1, A2, A3} при аф-
финном преобразовании f перейдет в некоторый аффинный репер R`={O`, A1`, A2`,
A3`}. Пусть координатные векторы е1 `= O`A1 `, e2 `= O`A 2 `, e3 ` = O`A 3 ` и начало
О` репера R` относительно репера R имеют следующие координаты:
e1 ` (а11 , а12 , а13 ) , e 2 ` (а 12 , а 22 , а 23 ) , e3 ` (а 31 , а 32 , а 33 ) , O`( b1 , b 2 , b 3 ) . Тогда,
используя формулы перехода от одного «старого» аффинного репера
R ={ O , A 1 , A 2 , A 3 } к другому «новому» аффинному реперу
R`={O`, A1`, A2`, A3`}, получим формулы, выражающие координаты образа через
координаты прообраза:
                                        ⎧ x` = a11 x + a12 y + a31 z + b1
                                        ⎪⎪          2      2      2       2
                                         ⎨ y` = a1 x + a2 y + a3 z + b                                   (17.4)
                                         ⎪         3      3      3       3
                                         ⎪⎩ z ` = a1 x + a2 y + a3 z + b .
     Чаще всего эти формулы называют аналитическим выражением аффин-
ного преобразования пространства относительно аффинного репера
R ={O, A1, A2, A3}.
     Аналогичными рассуждениями можно получить аналитическое задание
                                        ⎧⎪ x` = a11 x + a12 y + b1 ,
                                         ⎨                                                            (17.5)
                                         ⎪⎩ y` = a12 x + a22 y + b 2
аффинного преобразования плоскости, переводящего репер R ={O, A1, A2} в
репер R` ={O`, A1`, A2`} такой, что A1 `(а11 , а12 ) , A2 ` (а12 , а22 ) , O`( b1 , b 2 ) .
      .
     Свойства аффинных преобразований

      1. При аффинном преобразовании пространства плоскость переходит в
плоскость.
      2. При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
      3. Любое аффинное преобразование пространства переводит параллель-
ные плоскости в параллельные, параллельные прямые в параллельные.
      4. Аффинное преобразование пространства переводит четверку точек,
не лежащих в одной плоскости, в четверку точек, также не лежащих в одной
плоскости.
      5. Аффинное преобразование три точки, не лежащие на одной прямой,
переводит в три точки, также не лежащие на одной прямой.
      6. Аффинное преобразование сохраняет отношение «лежать между».
      7. При аффинных преобразованиях пространства луч переходит в луч,
отрезок – в отрезок, полуплоскость – в полуплоскость, полупространство – в
полупространство.
      8. При любом аффинном преобразовании сохраняется отношение площа-
дей соответственных фигур.