Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 163 стр.

                                         163

                                                N
                                                           N`        x

         O

                                         P`
           y                                        P




     Теорема 6. Сдвиг пространства имеет плоскость инвариантных точек.
     Доказательство. Рассмотрим сдвиг пространства, определяемый форму-
лами (17.5). Покажем, что каждая точка координатной плоскости Оху остается
при данном сдвиге на месте. Для этого произвольно возьмем точку М(х,у,0),
лежащую на оси абсцисс. Под действием сдвига она перейдет в некоторую точ-
ку М`(х`,y`,z`), координаты которой связаны с координатами точки М соотно-
         ⎧ x` = x,
шениями ⎪⎨ y` = y, А это значит, что точка M` совпадает со своим прообразом.
         ⎪ z `= z
         ⎩
Итак, мы показали, что при сдвиге пространства, определяемом формулами
(17.6) всякая точка координатной плоскости Oxy остается инвариантной.
       Определение 4. Аффинное преобразование пространства, имеющее плос-
кость инвариантных точек, называется перспективно-аффинным преобразова-
нием.
       Аналитическое выражение аффинного преобразования пространства по-
зволяет ставить и решать задачи, связанные с нахождением образов и прообра-
зов геометрических фигур, заданных аналитическими условиями. В частности,
аналитическое задание аффинного преобразования позволяет находить его ин-
вариантные точки, т.е. те точки пространства (плоскости), которые под дейст-
вием преобразования остаются на месте. Исследуем эту задачу в общем виде,
т.е. найдем условия, при которых аффинное преобразование, заданное форму-
лами (17.5), не имеет инвариантных точек или если имеет, то сколько. Для этого
составим систему уравнений:
                          ⎧ x = a11 x + a12 y + a31 z + b1
                          ⎪⎪        2      2       2       2
                           ⎨ y = a1 x + a2 y + a3 z + b
                           ⎪       3      3       3       3
                           ⎪⎩ z = a1 x + a2 y + a3 z + b .
        Перенесем из левой части каждого уравнения в правую часть координаты
x, y, z, получим систему уравнений: