Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

165
8. Как изменяется отношение площадей соответственных фигур при аф-
финных преобразованиях?
Решение примеров
Пример 1. Найти координаты образа и прообраза точки M(1, –1, 2) при
перспективно-аффинном преобразовании, оставляющем на месте плоскость
α,
заданную уравнением
01
=
−
−+
z
y
x
, и переводящем точку А(–3, –1, 1) в точ-
ку А`(3, 2, 1).
Решение. Прежде всего определим отношение, в котором отрезок АА`
делится плоскостью
α. Для этого выразим координаты точки А
0
пересечения плоскости
α с отрезком АА` через координаты точек А и А`, полу-
чим
=
λ+
λ+−
=
λ+
λ+−
=
.1
1
21
1
33
0
0
0
z
y
x
Поскольку точка А
0
принадлежит плоскости α, значит, ее координаты
удовлетворяют уравнению этой плоскости. Таким образом, получаем уравнение
02
1
21
1
33
=−
λ
+
λ
+
−
+
λ
+
λ
+−
для определения отношения
λ, в котором точка А
0
делит отрезок АА`. Из этого
уравнения находим, что
λ = 2. Через точку М проведем прямую, параллельную
вектору
AA`. Поскольку известны координаты точки М (1, –1, 2) и координаты
вектора
)0 ,3 ,6(AA`
, то можно составить параметрические уравнения этой пря-
мой:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
+
=
.2
31
61
z
ty
tx
Используя уравнения прямой, проходящей через точку М и параллельной
вектору
AA`, найдем координаты точки пересечения ее с плоскостью α. Для
этого в уравнение плоскости
α вместо текущих координат
z
y
x
, , подставим
выражения
2 ,31 ,61
t
t
+−+ , соответственно. Получим уравнение для опреде-
ления значения параметра
t
, из которого находим, что
3
1
=t
. Следовательно, 
                                        165

    8. Как изменяется отношение площадей соответственных фигур при аф-
финных преобразованиях?


     Решение примеров

      Пример 1. Найти координаты образа и прообраза точки M(1, –1, 2) при
перспективно-аффинном преобразовании, оставляющем на месте плоскость α,
заданную уравнением x + y − z − 1 = 0 , и переводящем точку А(–3, –1, 1) в точ-
ку А`(3, 2, 1).
      Решение. Прежде всего определим отношение, в котором отрезок АА`
делится плоскостью α. Для этого выразим координаты точки А0
пересечения плоскости α с отрезком АА` через координаты точек А и А`, полу-
чим
                                       − 3 + 3λ
                                 x0 =
                                         1+ λ
                                        − 1 + 2λ
                                 y0 =
                                          1+ λ
                                 z 0 = 1.
     Поскольку точка А0 принадлежит плоскости α, значит, ее координаты
удовлетворяют уравнению этой плоскости. Таким образом, получаем уравнение
                          − 3 + 3λ − 1 + 2λ
                                  +         −2=0
                           1+ λ     1+ λ
для определения отношения λ, в котором точка А0 делит отрезок АА`. Из этого
уравнения находим, что λ = 2. Через точку М проведем прямую, параллельную
вектору AA`. Поскольку известны координаты точки М (1, –1, 2) и координаты
вектора AA`(6, 3, 0) , то можно составить параметрические уравнения этой пря-
мой:
                                 ⎧ x = 1 + 6t
                                 ⎪
                                 ⎨ y = −1 + 3t
                                 ⎪ z = 2.
                                 ⎩
      Используя уравнения прямой, проходящей через точку М и параллельной
вектору AA`, найдем координаты точки пересечения ее с плоскостью α. Для
этого в уравнение плоскости α вместо текущих координат x, y, z подставим
выражения 1 + 6t , − 1 + 3t , 2 , соответственно. Получим уравнение для опреде-
                                                            1
ления значения параметра t , из которого находим, что t = . Следовательно,
                                                            3

Страницы