Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

168
соответственно. Так как треугольник AD`P` равен треугольнику AP`B, то их
площади равны. Следовательно, отношение их площадей равно 1. При перспек-
тивно-аффинном преобразовании, обратном данному, квадрат ABC`D` перейдет
в параллелограмм ABCD, а треугольники AD`P` и AP`B – в треугольники ADP
и APB, соответственно. Поскольку любое аффинное преобразование сохраняет
отношение площадей соответственных фигур, то площадь треугольника ADP
будет равна площади треугольника APB.
D C
P
A B
P`
D` C`
Рис
. 17.1
Пример 5. В треугольнике АВС проведены медианы BD и СЕ; М – их
точка пересечения. Доказать, что треугольник ВСМ и четырехугольник ADME
равновелики.
Решение. В требовании задачи содержится аффинно-инвариантная вели-
чина, определяемая отношением площади треугольника ВСМ к площади четы-
рехугольника ADME. С аффинной точки зрения, любые два треугольника аф-
финно-эквивалентны, что позволяет заменить в условии задачи произвольный
треугольник АВС на правильный треугольник A`B`C` и сформулировать задачу
уже для правильного треугольника (рис. 17.2).
C`
K` D`
M`
A` E` B`
Рис. 17.2
Правильный
треугольник A`B`C` составлен из трех равных между собой
четырехугольников A`D`M`E`, E`B`K`M`, M`K`C`D`. А это значит, что площадь 
                                       168

соответственно. Так как треугольник AD`P` равен треугольнику AP`B, то их
площади равны. Следовательно, отношение их площадей равно 1. При перспек-
тивно-аффинном преобразовании, обратном данному, квадрат ABC`D` перейдет
в параллелограмм ABCD, а треугольники AD`P` и AP`B – в треугольники ADP
и APB, соответственно. Поскольку любое аффинное преобразование сохраняет
отношение площадей соответственных фигур, то площадь треугольника ADP
будет равна площади треугольника APB.


                                D                      C

                                                 P

                     A                            B


                                            P`

                      D`                         C`
                                    Рис. 17.1

      Пример 5. В треугольнике АВС проведены медианы BD и СЕ; М – их
точка пересечения. Доказать, что треугольник ВСМ и четырехугольник ADME
равновелики.
      Решение. В требовании задачи содержится аффинно-инвариантная вели-
чина, определяемая отношением площади треугольника ВСМ к площади четы-
рехугольника ADME. С аффинной точки зрения, любые два треугольника аф-
финно-эквивалентны, что позволяет заменить в условии задачи произвольный
треугольник АВС на правильный треугольник A`B`C` и сформулировать задачу
уже для правильного треугольника (рис. 17.2).
                                     C`


                           K`                     D`
                                M`


                      A`               E`              B`
                                    Рис. 17.2
     Правильный треугольник A`B`C` составлен из трех равных между собой
четырехугольников A`D`M`E`, E`B`K`M`, M`K`C`D`. А это значит, что площадь

Страницы