Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 170 стр.

                                           170




                          A`                          D`
                                        Рис. 17.3
      Таким         образом,        произведение        A`B` o B`R`       =
= A`D` o Q`E`. Откуда заключаем, что площадь треугольника A`B`R` равна пло-
щади треугольника A`Q`D`. Значит, отношение их площадей будет равно 1.
Рассмотрим аффинное преобразование, обратное данному. Под действием его
треугольник A`B`R` перейдет в треугольник ABE, а треугольник A`Q`D` перей-
дет в треугольник AQD. Поскольку аффинные преобразования сохраняют от-
ношение соответственных фигур, следовательно, SΔABR : SΔAQD = 1. Таким обра-
зом, мы показали, что площадь треугольника АRВ равна площади треугольника
АQD.

      Пример 7. Через точки R и Е, принадлежащие сторонам АВ и AD парал-
лелограмма ABCD, и такие, что AR = (2/3)AB, AE = (1/3)AD, проведена прямая.
Найти отношение площади параллелограмма к площади полученного треуголь-
ника.
      Решение. С аффинной точки зрения, параллелограмм и квадрат одинако-
вы. Заменяя в условии задачи параллелограмм на квадрат, мы фактически про-
изводим отрицание данной геометрической фигуры (параллелограмма) с после-
дующей заменой ее на другую геометрическую фигуру (квадрат), сводя, тем
самым, поиск решения исходной задачи к поиску решения новой задачи, со-
ставленной для квадрата (Рис.17.4).

                      D                    C

                 E
                A              R   B

                E`



                D`                 C`
                      Рис.17.4

      Если длину стороны квадрата положить равной а , то длина катета A`R`
              a                                                          2a
будет равна     , а длина другого катета треугольника A`E`R` будет равна    , что
              3                                                           3