Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 172 стр.

                                     172

площадь квадрата ABCD в четыре раза больше площади ромба MNEF. Таким
образом, получаем, что площадь ромба MENF равна S : 4.




                             В       Е            С


                              M               N



                             A       F        D
                                  Рис. 17.6
     В ходе деятельности, связанной с решением данной задачи, было уста-
новлено, что четырехугольник MENF принадлежит к более узкому и более
значительному классу четырехугольников – параллелограммам. Наличие этого
факта позволяет сформулировать ряд полезных задач:
     1) доказать, что отрезки MN и EF пресекаются и в точке их пересечения
делятся пополам;
     2) доказать, что отрезок MN параллелен сторонам AD и BC;
     3) доказать, что площадь треугольника ECD равна площади четырех-
угольника MENF.

       Пример 10. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения
боковых сторон трапеции и середину большего основания, проходит через точ-
ку пересечения ее диагоналей и делит пополам меньшее основание.
       Решение. Для любой трапеции ABCD можно указать аффинно-
эквивалентную ее равнобочную трапецию A`B`C`D`. Тогда поиск решения дан-
ной задачи можно свести к поиску решения следующей задачи: доказать, что
прямая, проходящая через точку пересечения боковых сторон равнобочной тра-
пеции и середину большего основания, проходит через точку пересечения ее
диагоналей, делит пополам ее меньшее основание.
       Рассмотрим решение, основанное на свойствах осевой симметрии. В ка-
честве оси симметрии примем прямую SM. Поскольку треугольники SDC и
SAB равнобедренные, у них стороны DC и АВ параллельны, а вершины D и С
меньшего треугольника принадлежат боковым сторонам большего треугольни-
ка, то при осевой симметрии с осью SM точки D и С переходят друг в друга так
же, как и точки А и В. Таким образом, прямая SM проходит через середины от-
резков АВ и DC (рис. 17.7). Так как диагонали АC и BD переходят друг в друга,
то их точка пересечения остается инвариантной, следовательно, она принадле-