Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 174 стр.

                                            174

DC 1
  = .      Итак, все трапеции в которых средняя линия делится диагоналями на
AB 2
три равные части характеризуются тем, что у них большее основания в два раза
длиннее меньшего.

      Пример 12. Площадь трапеции равна S, длина большего основания равна
а, а длина меньшего – b. Найти площади треугольников, на которые трапеция
делится диагоналями.
      Решение. В ходе анализа условия и требования задачи приходим к за-
ключению о том, что для решения данной задачи достаточно найти отношения
площадей искомых треугольников к площади данной трапеции. Обусловлено
это тем, что именно отношение площадей фигур является аффинно-
инвариантной величиной. В данном случае отношение а : b определяет множест-
во аффинно-эквивалентных трапеций. Формулируем исходную задачу для рав-
нобедренной трапеции с площадью S и длинами оснований a и b (Рис.17.9).


                              D                     C
                                       S2

                            S3         O

                                       S1


              A                                                                 B
                                            Рис.17.9

      Если через S2 обозначить площадь треугольника, образованного диагона-
лями и прилежащего к меньшему основанию, через S1 обозначить площадь тре-
угольника, образованного этими же диагоналями и прилежащего к большей
стороне, а через S3 – площадь треугольника, прилежащего к какой-нибудь боко-
вой стороне, то можно получить, что S1 + S3 = Sa : (a + b ), S2 + S3 = Sb : (a + b).
Поскольку S1 : S2 = a2 : b2, S1 – S2 = S (a – b) : ( a + b), то, с учетом предыдущих
соотношений, получаем S2 : S = b2 : (a + b) 2, S1 : S = a2 : (a + b) 2, S3 : S = ab : (a +
b)2. Эти отношения выполняются для всех трапеций, определяемых аффинно-
                                                    S ⋅ a2             S ⋅ b2
инвариантной величиной a : b. Итак, S1 =                     , S 1 =            .
                                                  ( a + b) 2         ( a + b) 2
      Пример 13. Через середины Е и F диагоналей АС и ВД четырехугольника
АВСD проведены прямые, параллельные диагоналям ВD и АС. Доказать, что
отрезки, соединяющие точку пресечения этих прямых с серединами сторон че-
тырехугольника, делят его на четыре равновеликие фигуры.
      Решение. Прежде всего, вспомним, что два четырехугольника аффин-
но-эквивалентны, тогда и только тогда, когда равны отношения, в которых
точки пересечения их диагоналей делят каждую диагональ. Опираясь на это