Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

176
S
OQAP
= S
OPDN
.
Пример 14. На лучах АВ, ВС, СА, содержащих соответствующие сторо-
ны треугольника АВС, взяты точки С
1
, В
1
, А
1
такие, что ВС
1
= АВ, СА
1
= ВС,
АВ
1
= СА. Найти отношение площади треугольника АВС к площади треуголь-
ника А
1
В
1
С
1
.
Решение. Величины и соотношения между ними, приведенные в данной
задаче, носят аффинно-инвариантный характер. Конкретизация данной задачи
приводит к новой, которая получается из прежней заменой произвольного тре-
угольника на равносторонний треугольник. Если треугольник А`В`С` правиль-
ный, то треугольник А`
1
В`
1
C`
1
тоже правильный, причем он составлен их трех
равных между собой треугольников А`В`С`
1
, В`С`А`
1
, А`С`В`
1
и собственно
треугольника А`В`С`. Если длину стороны треугольника правильного А`В`С`
принять за 1, то можно показать, что площадь треугольника А`
1
B`
1
C`
1
будет в 7
раз больше площади треугольника АВС.
Замечательным свойством этой задачи является не только то, что в каче-
стве одного из оптимальных решений она допускает решение с помощью аф-
финных преобразований, но также и то, что ее можно обобщить. Обобщение
этой задачи можно вести по двум направлениям: одно из них
связано с перехо-
дом от одного множества к другому, более широкому, содержащему данное
множество в качестве подмножества (от треугольника к четырехугольнику, от
четырехугольника к пятиугольнику и т.д.), а другое направление связано с пере-
ходом от параллелограмма к параллелепипеду по аналогии. На случай четырех-
угольников эту задачу можно обобщить следующим образом
: на лучах АВ, ВС,
СD, DA, содержащих соответствующие стороны параллелограмма АВСD, взяты
точки А
1
, В
1
, С
1
, D
1
такие, что BD
1
= AB, CA
1
= BC, DB
1
= CD, AC
1
= AD
(рис. 17.11). Найти отношение площади параллелограмма ABCD к площади че-
тырехугольника A
1
B
1
C
1
D
1
. Нетрудно показать, что четырехугольник A
1
B
1
C
1
D
1
– параллелограмм, который состоит из параллелограмма ABCD и четырех тре-
угольников, имеющих ту же площадь, что и данный параллелограмм. А это зна-
чит, что площадь параллелограмма A
1
B
1
C
1
D
1
в пять раз больше площади парал-
лелограмма ABCD.
D
1
A B
A
1
C
1
D С 
                                     176

SOQAP = SOPDN.

       Пример 14. На лучах АВ, ВС, СА, содержащих соответствующие сторо-
ны треугольника АВС, взяты точки С1, В1, А1 такие, что ВС1 = АВ, СА1 = ВС,
АВ1 = СА. Найти отношение площади треугольника АВС к площади треуголь-
ника А1В1С1.
       Решение. Величины и соотношения между ними, приведенные в данной
задаче, носят аффинно-инвариантный характер. Конкретизация данной задачи
приводит к новой, которая получается из прежней заменой произвольного тре-
угольника на равносторонний треугольник. Если треугольник А`В`С` правиль-
ный, то треугольник А`1В`1C`1 тоже правильный, причем он составлен их трех
равных между собой треугольников А`В`С`1, В`С`А`1, А`С`В`1 и собственно
треугольника А`В`С`. Если длину стороны треугольника правильного А`В`С`
принять за 1, то можно показать, что площадь треугольника А`1B`1C`1 будет в 7
раз больше площади треугольника АВС.
       Замечательным свойством этой задачи является не только то, что в каче-
стве одного из оптимальных решений она допускает решение с помощью аф-
финных преобразований, но также и то, что ее можно обобщить. Обобщение
этой задачи можно вести по двум направлениям: одно из них связано с перехо-
дом от одного множества к другому, более широкому, содержащему данное
множество в качестве подмножества (от треугольника к четырехугольнику, от
четырехугольника к пятиугольнику и т.д.), а другое направление связано с пере-
ходом от параллелограмма к параллелепипеду по аналогии. На случай четырех-
угольников эту задачу можно обобщить следующим образом: на лучах АВ, ВС,
СD, DA, содержащих соответствующие стороны параллелограмма АВСD, взяты
точки А1, В1, С1, D1 такие, что BD1 = AB, CA1 = BC, DB1 = CD, AC1 = AD
(рис. 17.11). Найти отношение площади параллелограмма ABCD к площади че-
тырехугольника A1B1C1D1. Нетрудно показать, что четырехугольник A1B1C1D1
– параллелограмм, который состоит из параллелограмма ABCD и четырех тре-
угольников, имеющих ту же площадь, что и данный параллелограмм. А это зна-
чит, что площадь параллелограмма A1B1C1D1 в пять раз больше площади парал-
лелограмма ABCD.
                   D1



                     A                         B
                                                                         A1



C1D                        С

Страницы