Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 4 стр.

                                      4


     §1 ПОНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОЖЕСТВА. ПРИМЕРЫ.
        ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА

      Пусть М и M` есть непустые множества, состоящие из элементов произ-
вольной природы. Между элементами множеств М и M` установим соответст-
вие так, что каждому элементу из М будет сопоставлен некоторый элемент из
множества M`. Построенное соответствие называется сюръективным отображе-
нием множества М на множество M` . Элементы множества М называются про-
образами, а элементы множества М – образами.


               E
           D                                                   C`=E`
      С
           В                                              A`
                                                     B`
       А                                        D`


     М                                    М`


         На представленном рисунке задано отображение множества М на множе-
ство М`. Данное отображение различным точкам А, В, D множества М ставит в
соответствие различные точки A`, B`, D`, а двум различным точкам С и Е из
этого же множества ставит в соответствие одну и ту же точку множества M`.
Важным примером сюръективного отображения одного множества на другое
может служить следующий. На координатной плоскости рассмотрим параболу
y = x 2 . Эта парабола определяет отображение оси абсцисс на неотрицательную
часть оси ординат, которое каждой точке х оси абсцисс ставит в соответствие
точку x 2 оси ординат, принадлежащую ее неотрицательной части. Например,
числу 3 данное отображение ставит в соответствие число 9, числу -3 ставит в
соответствие то же число 9, числу 5 указанное отображение ставит в соответст-
вие число 25, а числу -5 то же самое число 25, а вот числу 0 это отображение
ставит в соответствие само число 0. В данном случае в роли множества М вы-
ступает ось абсцисс, а в роли множества M` - положительная часть оси абсцисс.
         Среди отображений множеств особо выделяют инъективные и биектив-
ные отображения.
         Определение 1. Отображение g множества М в множество M` называется
инъективным, если различным прообразам соответствуют различные образы.

                                                                 E`
               E