Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 5 стр.

                                           5

           D                                                            C`
       С
           В                                                       A`
                                                              B`
       А                                                 D`
                                                    F`

      М                                        М`

     На данном рисунке представлено инъективное отображение множества М
на множество M`. В этом отображении точка F` множества M` не имеет своего
прообраза. На координатной плоскости Оху рассмотрим дугу параболы y = x 2 ,
определяемую условиями − 2 ≤ x ≤ 2 .

                                   y

                         B         P   C

                          A`

               A                                          х
                        -2     О       2


      Зададим соответствие, которое каждой точке А оси абсцисс ставит в со-
ответствие точку A` пересечения дуги параболы с лучом, исходящим из точки
Р(0,4) оси ординат и проходящем через точку А. Данное соответствие обладает
тем свойством, что в нем различным точкам оси абсцисс ставятся в соответст-
вие различные точки дуги параболы. Значит, построенное соответствие пред-
ставляет инъективным отображением оси абсцисс в дугу параболы. Однако, в
данном отображении не всякая точка дуги параболы имеет свой прообраз. На-
пример, концевые точки В(-2,4) и С(2,4) дуги параболы не имеют своих прооб-
разов на оси абсцисс потому что лучи РВ и РС параллельны оси абсцисс.
Важным примером, иллюстрирующим инъективное отображение одного мно-
жества в другое, может служить следующий. На координатной плоскости зада-
дим параболу y = x 2 и окружность x 2 + ( y − 1) 2 = 1 , имеющую с параболой общую
точку – начало системы координат. Определим соответствие между точками
параболы и окружности следующим образом: каждой точке М параболы поста-
вим в соответствие точку M` пересечения луча ОМ с окружностью. Определен-
ное таким образом соответствие обладает тем свойством, что оно различным
прообразам ставит в соответствие различные образы. Значит, построенное со-
ответствие является отображением параболы в окружность. Заметим, что в дан-
ном соответствии точка А(0,2) окружности не имеет своего прообраза потому