Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 7 стр.

                                                     7

точку А, а любая точка отрезка ОВ отображается в точку В. Таким образом,
всякая точка гипотенузы АВ отображается либо в точку А, либо в точку В. Сле-
довательно, рассматриваемое отображение не является инъективным. Далее от-
метим, что заданное отображение переводит треугольник АВС в полуокруж-
ность АВС. А это означает, что любая точка полуокружности, не содержащей
точку С, не имеет своего прообраза. Следовательно, рассматриваемое отобра-
жение не является и сюръективным.
      Однако если взять остроугольный треугольник и задать отображение дан-
ного треугольника на окружность, описанную около него, то это отображение
будет и инъективным и сюръективным, т.е. взаимнооднозначным.
       В математике особо выделяют биективные отображения множества на
само себя.
      Определение 3. Взаимно однозначное отображение g множества М на се-
бя называется преобразованием этого множества.
      Примером преобразования любого множества может служить тождест-
венное преобразование, т.е. такое отображение множества на себя, при котором
каждой точке ставится в соответствие эта же точка.
      Одним из важных преобразований множества, состоящего из натуральных
чисел 1, 2, 3, …, n, являются перестановки. Важно заметить, что число всевоз-
можных перестановок этого множества конечно и равно n!. Например, число
всевозможных перестановок множества, состоящего из трех чисел 1, 2, 3, равно
6, и множество всех перестановок состоит из элементов вида
              ⎛1 2 3 ⎞     ⎛1 2 3 ⎞     ⎛1 2 3 ⎞         ⎛1 2 3 ⎞     ⎛1 2 3 ⎞     ⎛1 2 3 ⎞
              ⎜⎜     ⎟⎟,   ⎜⎜     ⎟⎟,   ⎜⎜     ⎟⎟,       ⎜⎜     ⎟⎟,   ⎜⎜     ⎟⎟,   ⎜⎜     ⎟⎟ .
              ⎝1 2 3 ⎠     ⎝ 2 1 3⎠     ⎝ 2 3 1⎠         ⎝31 2⎠       ⎝ 3 2 1⎠     ⎝1 3 2 ⎠
     Совокупность всех перестановок множества, состоящего из трех чисел,
содержит единичный элемент – тождественное преобразование. Произведение
любых двух перестановок снова дает перестановку. Значит, множество всех пе-
рестановок замкнуто относительно внутренней бинарной алгебраической опе-
рации, определяемой композицией перестановок. Каждая перестановка имеет
                                                               ⎛1 2 3 ⎞
себе обратную, например, для перестановки ⎜⎜                          ⎟⎟ обратной будет служить пе-
                                                               ⎝31 2 ⎠
                ⎛1 2 3 ⎞
рестановка вида ⎜⎜     ⎟⎟ . Таким образом, мы получаем, что совокупность всех
                 ⎝ 2 31⎠
перестановок множества, состоящего из трех элементов, есть группа. Анало-
гично можно установить, что совокупность всех перестановок, множества, со-
стоящего из n натуральных чисел, тоже есть группа. Эта группа называется
группой перестановок множества из n элементов.
      Рассмотрим множество М, состоящее из элементов произвольной приро-
ды. Обозначим через G множество всех его преобразований. Очевидно, что G
содержит единичный элемент – тождественное преобразование. Произведение
любых двух преобразований множества М снова есть преобразование этого
множества. Каждое преобразование множества М имеет себе обратное. Значит,