Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 8 стр.

                                          8

множество всех преобразований множества М является группой. Эта группа на-
зывается группой преобразований множества М. Среди всевозможных мно-
жеств М, имеющих нетривиальную группу преобразований, особый интерес
представляют фигуры на плоскости и в пространстве, а также сама плоскость и
пространство. Одним из важных преобразований плоскости и пространства яв-
ляются движения.
     Определение 4. Движением плоскости (пространства) называется такое
преобразование плоскости (пространства), которое сохраняет расстояние между
любыми двумя точками.
     Обозначим через G множество всех движений плоскости (пространства).
Это множество содержит единичный элемент – тождественное преобразование.
Покажем, что произведение любых двух движений есть движение. Возьмем во
множестве G произвольно два движения g и f. Рассмотрим их композицию g ·f.
Преобразование g ·f на любые две точки M и N действует следующим образом:
       (g ·f) (М) = g(f(M)) = g(M`) = M``, (g ·f) (N) = g(f(N)) = g(N`) = N``.
     Так как f и g движения, то MN = M`N`, M`N` = M``N``. Следовательно, MN
= M``N``. А это значит, что композиция g ·f двух движений f и g есть движение.
Если движение f переводит точки M и N в точки M` и N`, то преобразование,
обратное движению, переводит точки M` и N` в точки M и N. В силу указанного
выше равенства получаем, что преобразование, обратное движению, тоже есть
движение. Таким образом, мы показали, что множество всех движений плоско-
сти (пространства) образует группу, которая называется группой движений
плоскости (пространства).

      Вопросы и задания для самопроверки
      1.    В каком случае отображение одного множества на другое называет-
ся инъективным? Приведите примеры инъективных отображений.
      2.    В каком случае отображение одного множества на другое называет-
ся сюръективным? Приведите примеры сюръективных отображений.
      3.    Множество М состоит из точки Р пересечения медиан треугольни-
ка АВС и его вершин, а множество M` состоит из точки P` пересечения диаго-
налей квадрата A`B`C`D` и его вершин. Отображение f : M → M ` ставит в соот-
ветствие точке М точку М`, точке А точку A`, точке В точку B`, точке С точку
С`. Является ли данное отображение инъективным? Сюръективным?
      4.    Множество М состоит из точки Р пересечения диагоналей трапе-
ции АВСD и ее вершин, а множество M` состоит из точки P` пересечения диа-
гоналей параллелограмма A`B`C`D` и его вершин. Отображение f : M → M ` ста-
вит в соответствие точке М точку М`, точке А точку A`, точке В точку B`, точке
С точку С`, точке D точку D`. Является ли данное отображение инъективным?
Сюръективным?
      5.    Множество М состоит из вершин АВСD, а множество M` из вер-
шин квадрата ABC`D` . Отображение f : M → M ` ставит в соответствие точке А