Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 10 стр.

                                          10

         §2 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

      Определение 1. Параллельным переносом плоскости (пространства) на
        r
вектор a называется такое отображение плоскости (пространства) на себя, при
котором каждая точка М плоскости (пространства) переходит в такую точку
                 r
М`, что MM` = a .
                                                        r
      Для обозначения параллельного переноса на вектор a обычно использу-
                                            r
ют символ Т а . Если при переносе на вектор a точка М переходит в точку М`,
то пишут Т (M) = M`.
             а
                                                                           r
         Можно показать, что параллельный перенос Т              на вектор a сохраняет
                                                             а
расстояния между любыми точками.
      Для того, чтобы доказать это, возьмем две произвольные различные точки
                                                      r
M и N. Пусть при параллельном переносе на вектор a точка М переходит в
точку М`, а точка N – в точку N`. Рассмотрим четырехугольник ММ`N`N (рис.
2.1).
                                  r
                                  a
                                                         M`

                                  M

                                                        N`

                              N

                                       Рис. 2.1
     В этом четырехугольнике две противоположные стороны MM`и NN` па-
раллельны и равны. Значит MM`N`N – параллелограмм. Следовательно, сторо-
на MN равна стороне M`N`. Таким образом, мы показали, что параллельный пе-
ренос сохраняет расстояния между точками, т.е. является движением.
     На плоскости зададим прямоугольную систему координат Оxy и рассмот-
рим параллельный перенос Т на вектор a . Пусть относительно заданной сис-
                             а
темы координат вектор a имеет координаты (a1 , a2 ). Произвольно возьмем
точку М с координатами ( x, y ). При параллельном переносе Т точка М перей-
                                                            а
дет в точку М` c координатами ( x`, y`). Поскольку вектор MM' равен вектору
a , то
                                      ⎧ x` = x + a1
                                      ⎨                                           (2.1)
                                      ⎩ y` = y + a2 .