Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 12 стр.

                                               12

чаем, что четырехугольник PQQ`P` – параллелограмм. Следовательно, прямая
m параллельна прямой m`.

      3. При параллельном переносе плоскости (пространства) сохраня-
ется простое отношение трех точек.
      Доказательство. В пространстве зададим систему координат Охуz и рас-
смотрим параллельный перенос на вектор а , имеющий относительно заданной
системы следующие координаты: (a1 , a2 , a3 ) . Тогда в системе координат Охуz
параллельный перенос Т будет определяться формулами (2.2). В пространстве
                              а
возьмем три точки M1, M2 и M такие, что точка М делит отрезок M1M2 в неко-
тором отношении λ ≠ –1. Если относительно системы координат Охуz точки М1,
М2 и М имеют координаты M1 ( x1 , y1 , z1 ) , M2 ( x2 , y 2 , z 2 ) , M ( x, y, z ) , то

                                       ⎧     x1 + λx2
                                       ⎪ x =
                                               1+ λ
                                       ⎪
                                       ⎪     y1 + λy 2
                                       ⎨y =                                               (2.3)
                                       ⎪       1+ λ
                                       ⎪     z1 + λz 2
                                       ⎪ z =           .
                                       ⎩       1 + λ
      Под действием параллельного переноса точки M1, M2 и М перейдут в какие-
то точки М1`, M2` и M`. Пусть эти точки относительно системы координат Охуz
имеют следующие координаты: M1 ( x1 `, y1 `, z1 `) , M2 ( x2 `, y2 `, z2 `) , M ( x`, y`, z `) .
Используя формулы (2.2), можно выразить координаты точек М1, М2 и М через
координаты их образов при параллельном переносе Т . Подставив полученные
                                                                 а
выражения в формулы (2.3), после несложных преобразований получим, что
                                      ⎧       x1 ` + λx2 `
                                      ⎪ x ` =
                                                 1+ λ
                                      ⎪
                                      ⎪       y1 ` + λy 2 `
                                      ⎨ y` =
                                      ⎪          1+ λ
                                      ⎪       z1 ` + λz 2 `
                                      ⎪ z ` =              .
                                      ⎩          1 + λ
     Из этих формул следует, что точка M` делит отрезок М1`M2` в том же са-
мом отношении λ ≠ –1, в каком точка М делит отрезок М1М2.

       4. Параллельный перенос переводит отрезок в равный ему отрезок.
      Доказательство. Из свойства 3 следует, что при параллельном переносе
сохраняется свойство точек «лежать между». Поскольку отрезок представляет
собой множество, состоящее из его концов и всех точек, лежащих между ними,
то отрезок переходит в отрезок. Ранее было показано, что параллельный пере-