Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 11 стр.

                                       11

     Формулы (2.1) являются формулами параллельного переноса плоскости
относительно системы координат Оху.
     Аналогичным образом можно получить формулы параллельного переноса
пространства. Если Охуz – система координат в пространстве, а Т – парал-
                                                                    а
лельный перенос на вектор a с координатами (a1 , a2 , a3 ) , то координаты
( x`, y`, z`) точки M` через координаты ( x, y, z ) точки М будут выражены сле-
дующим образом:
                                  ⎧ x` = x + a1
                                  ⎪
                                  ⎨ y ` = y + a2                          (2.2)
                                  ⎪ z` = z + a .
                                  ⎩            3


     Свойства параллельного переноса

     1. Параллельный перенос переводит прямую в прямую.
     Доказательство. Возьмем на плоскости прямую m, заданную относи-
тельно системы координат Оху уравнением ax + by + c = 0 . Используя
формулы (2.1), найдем уравнение образа m` прямой m при параллельном
переносе Т на вектор a , имеющий координаты (a1 , a2 ). Для этого из формул
           а
(2.1) выразим координаты x, y прообраза через координаты x`, y` образа,
подставим полученные выражения в уравнение прямой. После несложных
преобразований и введения новых обозначений для коэффициентов при
координатах х, у и свободного члена в уравнении образа m` прямой m получаем,
что относительно системы координат Оху множество m` определяется
уравнением a`x + b`y + c`= 0 . Это уравнение является уравнением первой
степени и определяет на плоскости относительно системы координат Оху пря-
мую.
      2. При параллельном переносе каждая прямая переходит в прямую, ей
параллельную.
      Доказательство. Рассмотрим параллельный перенос Т , определяемый
                                                          а
          r
вектором a . Возьмем на плоскости или в пространстве любую прямую m. Воз-
можны два случая расположения прямой m относительно вектора а : вектор а
лежит на прямой m или ей не параллелен. Если вектор а лежит на прямой m, то
каждая точка этой прямой при параллельном переносе Т переходит в точку,
                                                       а
также лежащую на этой прямой. Значит, эта прямая при параллельном переносе
на вектор а остается на месте. Если же вектор а не параллелен прямой m, то
возьмем на этой прямой две произвольные точки P и Q. Под действием парал-
лельного переноса Т прямая m перейдет в прямую m`, а точки Р и Q перейдут
                    а
в некоторые точки Р` и Q`, лежащие на прямой m`. По доказанному выше полу-