Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 13 стр.

                                      13

нос сохраняет расстояния между точками, значит, переводит отрезок в равный
ему отрезок.
      Непосредственно из свойств 2, 3 и определения луча и полуплоскости
следует, что при параллельном переносе луч переходит в сонаправленный с
ним луч, а полуплоскость границей m переходит в полуплоскость с границей,
параллельной прямой m.

     5. При параллельном переносе угол переходит в равный ему угол.
     6. Параллельный перенос пространства переводит плоскость в парал-
лельную ей плоскость.
      Доказательство. В пространстве зададим систему координат Охуz и
возьмем произвольную плоскость π, заданную относительно выбранной систе-
мы координат уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0. Найдем образ π` плоскости π
при параллельном переносе Т на вектор а с координатами (a1 , a2 , a3 ) . Ис-
                               а
пользуя формулы (2.2), можно выразить координаты ( x, y, z ) любой точки М
пространства через координаты ( x`, y`, z `) ее образа M` при параллельном пе-
реносе Т . Подставив полученные выражения вместо х, у, z в уравнение плос-
         а
кости π, после несложных алгебраических преобразований получим, что отно-
сительно системы координат Охуz множество π` определяется уравнением Ах` +
Ву` + Cz` + D` = 0, где D` = D – Aa1 − Ba2 − Ca3 . Уравнение множества π` яв-
ляется уравнением первой степени. Как известно, всякое уравнение первой сте-
пени в пространстве относительно системы координат Охуz определяет плос-
кость. Сравнивая уравнение плоскости π с уравнением плоскости π`, замечаем,
что эти уравнения первой степени отличаются только свободными членами, а
это значит, что плоскости параллельны.

     7. При параллельном переносе Т а пространства всякая плоскость парал-
лельная вектору a остается на месте.
      8. При параллельном переносе Т пространства(плоскости) всякая пря-
                                      а
мая параллельная вектору a остается на месте.
      9. При параллельном переносе ортонормированный репер переходит в
ортонормированный репер.
      10. Композиция двух параллельных переносов есть параллельный пере-
нос, причем Tb o Т a = Ta +b .
     11. Множество всех параллельных переносов образует группу относи-
тельно композиции переносов.


     Вопросы и задания для самопроверки