Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
М N
A B` B
Рис. 2.2
Тогда при параллельном переносе
NM
T , точка В перейдет в точку В`, а
точка С перейдет в точку С`. Площадь параллелограмма В`BCС` равна площа-
ди трапеции ABCD. Поскольку площадь параллелограмма B`BCC` равна про-
изведению длины боковой стороны BC на длину высоты MP, опущенной на эту
сторону из середины противоположной ей стороны, то и площадь трапеции
ABCD тоже равна произведению длины
боковой стороны BC на длину высоты
MP.
Пример 2. Найти площадь ромба, зная длину d его большей диагонали
и величину α острого угла при вершине.
Решение. Применим параллельный перенос на вектор
АC . При этом
вершина В ромба ABCD перейдет в некоторую точку B`(Рис.2.3).
B B`
А C
D
Рис.2.3
Рассмотрим прямоугольный треугольник DBB`. Заметим, что площадь
ромба ABCD равна площади треугольника DBB`. Поскольку АС=d, ∠BAD = α,
то
2
`
α
BDB∠ , BB`=d. Откуда получаем, что
2
α
tgdBD ⋅= . Следовательно,
22
1
22
1
2
`
α
α
tgdtgddS
DBB
⋅=⋅⋅=
Δ
. Значит,
22
1
2
α
tgdS
ABCD
⋅=
Δ
.
Пример 3. Основание равнобедренного треугольника равно 2
10 см, а
медиана боковой стороны – 6 см. Найти длины боковых сторон.
Решение. Обозначим длину боковой стороны AB равнобедренного тре-
угольника АВС через х, а величину угла ∠BAC при основании через
α
(Рис.2.4).
В B` 
                                               15



                         М                                         N


                     A       B`        B
                                           Рис. 2.2

      Тогда при параллельном переносе TNM , точка В перейдет в точку В`, а
точка С перейдет в точку С`. Площадь параллелограмма В`BCС` равна площа-
ди трапеции ABCD. Поскольку площадь параллелограмма B`BCC` равна про-
изведению длины боковой стороны BC на длину высоты MP, опущенной на эту
сторону из середины противоположной ей стороны, то и площадь трапеции
ABCD тоже равна произведению длины боковой стороны BC на длину высоты
MP.

      Пример 2. Найти площадь ромба, зная длину d его большей диагонали
и величину α острого угла при вершине.
      Решение. Применим параллельный перенос на вектор АC . При этом
вершина В ромба ABCD перейдет в некоторую точку B`(Рис.2.3).

                                           B                               B`


                      А                                   C


                                           D

                                   Рис.2.3

     Рассмотрим прямоугольный треугольник DBB`. Заметим, что площадь
ромба ABCD равна площади треугольника DBB`. Поскольку АС=d, ∠BAD = α,
              α                                                        α
то    ∠DB`B       , BB`=d. Откуда получаем, что BD = d ⋅ tg . Следовательно,
                  2                                                    2
          1          α 1        α                   1        α
S ΔDBB ` = d ⋅ d ⋅ tg = d 2 ⋅ tg . Значит, S ΔABCD = d 2 ⋅ tg .
          2          2 2        2                   2        2

      Пример 3. Основание равнобедренного треугольника равно 2 10 см, а
медиана боковой стороны – 6 см. Найти длины боковых сторон.
      Решение. Обозначим длину боковой стороны AB равнобедренного тре-
угольника АВС через х, а величину угла ∠BAC при основании через
α (Рис.2.4).

                                     В                        B`

Страницы