Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 17 стр.

                                                         17

     Пример 5. Найти площадь параллелограмма ABCD, стороны которого
AB и AD равны соответственно 8 и 5, а угол между диагоналями равен
α(Рис.2.6).
     Решение. Применим параллельный перенос на вектор DC . При этом
вершина В параллелограмма ABCD перейдет в некоторую точку B`.

                                     D                        C



                                              O


                     A                              B                      B`




                                         A`
                                              Рис.2.6

       Рассмотрим треугольник AB`C. Пусть в параллелограмме ABCD ∠ВОС
= α. Тогда в треугольнике AB`C имеем ∠ACB`=1800-α, AB` = 16, СВ` = 5.
Обозначим через х длину диагонали АС, а через у обозначим длину диагонали
BD параллелограмма ABCD. Из треугольника AB`C по теореме косинусов по-
лучаем, что
                256 = x 2 + y 2 − 2 xy cos(180 0 − α ) = x 2 + y 2 + 2 xy cosα .
       Теперь применим параллельный перенос на вектор CB` . Вершина А па-
раллелограмма ABCD перейдет в некоторую точку A`. Нетрудно заметить, что
площадь параллелограмма ABCD равна площади параллелограмма A`B`CA .
Поскольку S A`B `CA = xy sin α , то для нахождения площади параллелограмма ABCD
нам необходимо знать произведение xy. Для этого рассмотрим треугольник
A`B`C. В этом треугольнике мы знаем, что A`C = 10, A`B` = x , B`C = y,
∠CB`A` = α. По теореме косинусов из этого треугольника получаем, что
100 = x 2 + y 2 − 2 xy cosα . Таким образом, имеем систему уравнений
                            ⎧⎪ x 2 + y 2 + 2 xy cosα = 256,
                             ⎨ 2
                             ⎪⎩ x + y 2 − 2 xy cosα = 100.
                                                                   39
Из этой системы следует, что xy cosα = 39 или xy =                     . Откуда получаем, что
                                                                  cosα
               39
S A`B `CA =        sin α = 39tgα .
              cosα