Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

18
Пример 6. Величина угла между диагоналями параллелограмма ABCD
равна 60°, а длина диагонали BD равна 5 см. Длина перпендикуляра, прове-
денного из точки пересечения диагоналей к стороне АВ, равна 1 см. Найти
длину стороны АВ и диагонали АС параллелограмма.
Решение. Применим параллельный перенос на вектор
DC . При этом
вершина В параллелограмма ABCD прейдет в некоторую точку B`. Рассмотрим
треугольник ACB`(Рис.2.7). Если принять за угол между диагоналями угол
∠ВОС, длину диагонали АС за - y, длину стороны АВ за – х, то по теореме
косинусов из треугольника ACB` получаем, что
022
120cos10254 yyx −+= или
yyx 5254
22
++= . Поскольку с одной стороны площадь S параллелограмма
ABCD равна
xOHABS 22
=
⋅
=
, а с другой -
4
35
120sin5
2
1
`sin`
2
1
0
`
y
yACBCBACSS
ACB
=⋅⋅=∠⋅⋅==
Δ
, то
4
35
2
y
x =
. Откуда следует,
что
8
35 y
x =
. Подставим полученное выражение для х в уравнение
yyx 5254
22
++= получим, что yy
y
525
16
75
2
2
++= или 04008059
2
=−− yy .
D C
O
А В В`
Рис.2.7
Решая квадратное уравнение, находим, что длина диагонали
59
40760 +
=АС
.
Откуда, с учетом соотношения
8
35 y
x =
находим, что длина стороны АВ па-
раллелограмма ABCD равна
118
)273(325 +
=АВ
.
Теперь за угол между диагоналями примем угол ∠АОВ. Тогда по теоре-
ме косинусов из треугольника АСВ` имеем:
022
60cos10254 yyx −+= или
yyx 5254
22
−+= . С учетом того, что
8
35 y
x =
из последнего соотношения полу-
чаем уравнение
yy
y
525
16
75
2
2
−+= или 04008059
2
=−+ yy . Решая квадратное урав-
нение, находим, что длина диагонали
59
40760 −
=АС
. Откуда, с учетом соотно-
                                                 18

         Пример 6. Величина угла между диагоналями параллелограмма ABCD
равна 60°, а длина диагонали BD равна 5 см. Длина перпендикуляра, прове-
денного из точки пересечения диагоналей к стороне АВ, равна 1 см. Найти
длину стороны АВ и диагонали АС параллелограмма.
         Решение. Применим параллельный перенос на вектор DC . При этом
вершина В параллелограмма ABCD прейдет в некоторую точку B`. Рассмотрим
треугольник ACB`(Рис.2.7). Если принять за угол между диагоналями угол
∠ВОС, длину диагонали АС за - y, длину стороны АВ за – х, то по теореме
косинусов из треугольника ACB` получаем, что 4 x 2 = 25 + y 2 − 10 y cos120 0 или
4 x 2 = 25 + y 2 + 5 y . Поскольку с одной стороны площадь S параллелограмма
ABCD                      равна     S = AB ⋅ 2OH = 2 x , а с     другой         -
               1                     1                    5 3y              5 3y
S = S ΔACB ` =   AC ⋅ CB`⋅ sin ∠ACB`= y ⋅ 5 ⋅ sin 120 0 =        , то 2 x =        . Откуда следует,
               2                     2                       4                 4
            5 3y
что x =             .   Подставим полученное выражение для х                             в уравнение
               8
                                       75 y 2
4 x 2 = 25 + y 2 + 5 y получим, что            = 25 + y 2 + 5 y или 59 y 2 − 80 y − 400 = 0 .
                                        16

                            D                         C


                                O


                  А                    В                        В`
                                       Рис.2.7
                                                                                  60 7 + 40
Решая квадратное уравнение, находим, что длина диагонали АС =                               .
                                                                                     59
                                5 3y
Откуда, с учетом соотношения x =       находим, что длина стороны АВ па-
                                  8
                              25 3 (3 7 + 2)
раллелограмма ABCD равна АВ =                .
                                   118
    Теперь за угол между диагоналями примем угол ∠АОВ. Тогда по теоре-
ме косинусов из треугольника АСВ` имеем: 4 x 2 = 25 + y 2 − 10 y cos 60 0 или
                                                  5 3y
4 x 2 = 25 + y 2 − 5 y . С учетом того, что x =        из последнего соотношения полу-
                                                    8
                75 y 2
чаем уравнение         = 25 + y 2 − 5 y или 59 y 2 + 80 y − 400 = 0 . Решая квадратное урав-
                 16
                                                     60 7 − 40
нение, находим, что длина диагонали АС =                        . Откуда, с учетом соотно-
                                                         59

Страницы