Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 20 стр.

                                     20

данном случае следует принять вектор ВС . При параллельном переносе, опре-
деляемом этим вектором, точка D перейдет в точку D`, при этом диагональ ВD
перейдет в отрезок CD`, а середина N диагонали BD перейдет в середину N` от-
резка CD`. Поскольку М – середина диагонали АС, а N` – середина отрезка CD`,
то MN` – средняя линия треугольника ACD`. Откуда следует, что длина отрезка
MN` равна полусумме длин оснований трапеции ABCD. Так как отрезок MN`
составлен из двух отрезков, один из которых есть искомый отрезок MN, а дру-
гой равен меньшему основанию ВС, то легко получить, что длина отрезка, со-
единяющего середины диагоналей, равна полуразности длин оснований трапе-
ции.

    Пример 9. В четырехугольнике ABCD АВ = 8, CD = 8 3 , ∠BAD = = 90°,
∠AВС = 120°, ∠СDА = 60°. Найти длины сторон ВС и AD.
     Решение. В качестве вектора, определяющего параллельный перенос,
можно взять вектор BC . При параллельном переносе, определяемом этим век-
тором, точка А перейдет в точку А`. Получим треугольник АА`D (рис. 2.9).

                                                         C

                        B



                                             A`

               A

                                                     D
                                  Рис. 2.9
      В этом треугольнике можно определить угол А`AD. Его градусная мера
равна 30°. В треугольнике СА`D можно найти две стороны A`C и CD и угол
между ними 30°. По этим данным находим длину стороны A`D и градусную
меру угла A`DС. Используя теорему косинусов, находим, что A`D = 8. А это
значит, что треугольник A`DC – равнобедренный. Откуда следует, что ∠СA`D
= 120°. Таким образом, мы показали, что треугольники СA`D и AA`D – равно-
бедренные, тупоугольные, равные между собой. Откуда следует, что AA` = 8, а
AD = 8 3 . Так как ВС = AA`, то ВС = 8. Заметим, что треугольники АВС и АCD
тоже равнобедренные.
      Процесс решения данной задачи позволяет сформулировать новую зада-
чу: в четырехугольнике ABCD АВ = 8, CD = 8 3 , ∠BAD = 90°, ∠AВС = 120°,
∠СDА = 60°; доказать, что диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.