Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 21 стр.

                                        21

     Пример 10. В четырехугольнике ABCD продолжения сторон ВС и AD
образуют с прямой, проходящей через середины сторон АВ и CD, равные углы.
Доказать, что ВС = AD.
     Решение. В качестве вектора,
                            r        определяющего параллельный перенос
плоскости, выберем вектор C N , где N – середина стороны CD. Обозначим че-
рез В` образ точки В при параллельном переносе TCN . Далее рассмотрим па-
раллельный перенос TDN . При этом переносе точка А перейдет в точку A`.
Получим треугольник A`B`N. Покажем, что этот треугольник равнобедренный.
Для этого рассмотрим четырехугольник AA`BB` (рис. 2.10).


                B

                    B`
           M
                                C
  A`                                    N


       A                            D

                                 Рис. 2.10


     Заметим, что у этого четырехугольника противоположные стороны AA` и
BB` равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник AA`BB` – паралле-
лограмм. Отсюда следует, что отрезок A`B` проходит через точку М и делится
ею пополам. Таким образом, мы показали, что отрезок NM в треугольнике
A`B`N является биссектрисой и медианой. Следовательно, треугольник A`MN
равен треугольнику B`MN. Откуда следует равенство отрезков NA` и NB`. Так
как ВС = B`N, AD = A`N, B`N = A`N, то ВС = AD.


       Пример 11. Найти площадь трапеции, основания которой равны а и b (а >
b), а углы, прилежащие к большему основанию, равны α и β.
       Решение. В качестве вектора параллельного переноса можно взять вектор
СВ . При этом точка D перейдет в точку D`. Получим треугольник D`DC, в ко-
тором известна сторона D`D и углы α и β при этой стороне. По этим данным
можно найти длину высоты треугольника, которая является и высотой трапеции
(рис. 2.11).

                                 B           C