Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 22 стр.

                                       22




                           α                α       β
                      А           D`            H       D
                                  Рис. 2.11

     Для определения длины высоты СН треугольника D`DC, проведенной к
основанию D`D, можно воспользоваться соотношениями
                      СН = HD tgβ, СН = (а – b – HD) tgα.
     Из последних двух равенств составим уравнение:
                          HDtg β = (а – b – HD)tgα.
Используя это уравнение найдем длину высоты HС. Зная высоту HС, большее
основание AD и меньшее основание ВС, найдем площадь трапеции ABCD.
     Пример 12. Населенные пункты А и D разделены железнодорожным по-
лотном. Где следует построить переезд ВС (Рис.2.12) через полотно, чтобы пу-
ть АВСD был кратчайшим?
     Решение. Границы железнодорожного полотна представляют собой две
параллельные прямые.


             А
                                       В

                 А`

                                            C                      D


                                   Рис.2.12

Как известно кратчайшее расстояние между ними равно длине их общего пер-
пендикуляра. Таким образом, отрезок ВС перпендикулярен обеим границам по-
лотна. Следовательно, путь АВСD будет кратчайшим, если сумма расстояний
АВ+CD будет наименьшей. К нахождению условий, влияющих на сумму
АВ+CD , применим параллельный перенос на вектор BC . При этом точка А пе-
рейдет в точку А`. По свойству параллельного переноса АВ=A`C. А это значит,
что сумма АВ+CD будет наименьшей, если наименьшей будет сумма A`C+CD.
Очевидно, что эта сумма будет наименьшей в том и только в том случае, когда
точки A`,C,D будут лежать на одной прямой. Итак, переезд через железнодо-
рожное полотно должен проходить через точку С пересечения прямой A`D с