Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

З а н я т и е 1
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА
Напомним, что уравнение малых колеба ний ст руны имеет следую-
щий вид:
u
tt
= v
2
u
xx
+ f(x, t). (1)
Здесь u = u(x, t) – отклонение струны в точке x в момент времени
t; v – скорость распространения волн по струне, причем v = T/ρ, где
T – сила натяжения струны, ρ – линейная плотность струны; f(x, t)=
F (x, t)/ρ –вынуждающая сила, действующая на единицу длины струны.
Если струна неограниченная, то −∞ < x < ∞. Пусть заданы смеще-
ния и скорости точек струны в начальный момент в ремени, и требуется
найти эти смещения в последующие моменты времени. Тогда приходим
к следующей задаче:
u
tt
= v
2
u
xx
+ f(x, t), −∞ < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = ϕ(x), (2)
u
t
(x, 0) = ψ(x),
где ϕ(x), ψ(x) – некоторые заданные функции. Система (2) предста в -
ляет собой задачу Коши для уравнения (1) с начальными условиями
ϕ(x), ψ(x) на неограниченном интервале −∞ < x < ∞. Решение этой
задачи дается формулой Даламбера
u(x, t) =
1
2
(ϕ(x + vt) + ϕ(x − vt)) +
1
2v
x+vt
Z
x−vt
ψ(z) dz
+
1
2v
t
Z
0
dτ
x+v(t−τ)
Z
x−v(t−τ)
f(z, τ) dz.
(3)
Упражнение 1. Введите в Mathematica формулу Даламбера (3) и
постройте с ее помощью решение для следующих частных зад ач:
1) u
tt
= v
2
u
xx
+ 5, −∞ < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = x
2
,
u
t
(x, 0) = 4x;
2) u
tt
= v
2
u
xx
+ exp(x), −∞ < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = sin(x),
u
t
(x, 0) = x + cos(x);
4
                                    Занятие 1
               ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
            КОЛЕБАНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
                   ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА

   Напомним, что уравнение малых колебаний струны имеет следую-
щий вид:
                      utt = v 2 uxx + f (x, t).              (1)
     Здесь u = u(x, t) – отклонение струны в точке x в момент времени
t; v – скорость распространения волн по струне, причем v = T /ρ, где
T – сила натяжения струны, ρ – линейная плотность струны; f (x, t)=
F (x, t)/ρ –вынуждающая сила, действующая на единицу длины струны.
Если струна неограниченная, то −∞ < x < ∞. Пусть заданы смеще-
ния и скорости точек струны в начальный момент времени, и требуется
найти эти смещения в последующие моменты времени. Тогда приходим
к следующей задаче:
               utt = v 2uxx + f (x, t), −∞ < x < ∞, t > 0
               u(x, 0) = ϕ(x),                                     (2)
               ut (x, 0) = ψ(x),
где ϕ(x), ψ(x) – некоторые заданные функции. Система (2) представ-
ляет собой задачу Коши для уравнения (1) с начальными условиями
ϕ(x), ψ(x) на неограниченном интервале −∞ < x < ∞. Решение этой
задачи дается формулой Даламбера
                                                  x+vt
                    1                           1
                                                  Z
           u(x, t) = (ϕ(x + vt) + ϕ(x − vt)) +        ψ(z) dz
                    2                          2v
                                                                x−vt
                                     x+v(t−τ                           (3)
                          Zt           Z )
                      1
                 +             dτ               f (z, τ ) dz.
                     2v
                          0         x−v(t−τ )

    Упражнение 1. Введите в Mathematica формулу Даламбера (3) и
постройте с ее помощью решение для следующих частных задач:

    1) utt = v 2 uxx + 5, −∞ < x < ∞,                    t>0
       u(x, 0) = x2,
       ut (x, 0) = 4x;

    2) utt = v 2 uxx + exp(x),           −∞ < x < ∞,            t>0
       u(x, 0) = sin(x),
       ut (x, 0) = x + cos(x);

                                                4

Страницы