Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

З а н я т и е 2
КОЛЕБАНИЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
Пусть струна начинается в точке x = 0 и неограниченно прости-
рается вправо, т. е. в сторону положительных значений x. Чтобы одно-
значно определить движение такой струны, необходимо задать началь-
ные условия – координаты и скорости точек струны в начальный момент
времени, т. е. функции ϕ(x) и ψ(x) для всех x > 0 (см. предыдущее за-
нятие). Но помимо этог о, необходимо также задать граничное условие в
точке x = 0, т. е. так или иначе охарактеризовать тип закрепления или
движения конца ст руны. Пусть, например, конец струны движется по
заданному закону u(0, t) = g(t), тогда получаем следующую задачу:
u
tt
= v
2
u
xx
, 0 < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = ϕ(x),
u
t
(x, 0) = ψ(x),
u(0, t) = g(t).
(4)
Задачи такого типа, которые содержат как начальные, так и гра-
ничные условия, называются смешанными. Д ля решения данной задачи
необходимо сначала произвести нечетное продолжение начальных усло-
вий
ϕ
1
(x) =
(
ϕ(x), x ≥ 0
−ϕ(−x), x < 0
, ψ
1
(x) =
(
ψ(x), x ≥ 0
−ψ(−x), x < 0
и ввести вспомогательную функцию:
µ
1
(x, t) =
(
g(t − x/v), t ≥ x/v
0, t < x/v
Решение будет имет ь вид формулы Даламбера с добавлением µ
1
(x, t):
u(x, t) =
1
2
(ϕ
1
(x + vt) + ϕ
1
(x − vt)) +
1
2v
x+vt
Z
x−vt
ψ
1
(z) dz
+
1
2v
t
Z
0
dτ
x+v(t−τ)
Z
x−v(t−τ)
f(z, τ) dz + µ
1
(x, t).
(5)
6
                                    Занятие 2
          КОЛЕБАНИЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ

    Пусть струна начинается в точке x = 0 и неограниченно прости-
рается вправо, т. е. в сторону положительных значений x. Чтобы одно-
значно определить движение такой струны, необходимо задать началь-
ные условия – координаты и скорости точек струны в начальный момент
времени, т. е. функции ϕ(x) и ψ(x) для всех x > 0 (см. предыдущее за-
нятие). Но помимо этого, необходимо также задать граничное условие в
точке x = 0, т. е. так или иначе охарактеризовать тип закрепления или
движения конца струны. Пусть, например, конец струны движется по
заданному закону u(0, t) = g(t), тогда получаем следующую задачу:

                    utt = v 2uxx , 0 < x < ∞,                  t>0
                    u(x, 0) = ϕ(x),
                                                                                       (4)
                    ut(x, 0) = ψ(x),
                    u(0, t) = g(t).
    Задачи такого типа, которые содержат как начальные, так и гра-
ничные условия, называются смешанными. Для решения данной задачи
необходимо сначала произвести нечетное продолжение начальных усло-
вий
             (                            (
              ϕ(x),       x≥0               ψ(x),      x≥0
     ϕ1(x) =                   , ψ1 (x) =
              −ϕ(−x),     x<0               −ψ(−x),    x<0

и ввести вспомогательную функцию:
                              (
                               g(t − x/v),                   t ≥ x/v
                  µ1 (x, t) =
                               0,                            t < x/v

    Решение будет иметь вид формулы Даламбера с добавлением µ 1 (x, t):
                                                                    x+vt
                  1                             1
                                                                    Z
         u(x, t) = (ϕ1(x + vt) + ϕ1(x − vt)) +                             ψ1 (z) dz
                  2                            2v
                                                                   x−vt
                                    x+v(t−τ                                            (5)
                         Zt           Z )
                     1
                +             dτ               f (z, τ ) dz + µ1 (x, t).
                    2v
                         0         x−v(t−τ )




                                                6

Страницы