Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3) u
tt
= 4u
xx
, 0 < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = 0,
u
t
(x, 0) = 0,
u
x
(0, t) = exp(−4(t − 4)
2
).
З а н я т и е 3
КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
Вспомним, как ре шается задача о свободных колебаниях ограничен-
ной струны c закрепленными концами:
u
tt
= v
2
u
xx
, 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, (8)
u(x, 0) = ϕ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x),
где u = u(x, t) – отклонение струны в точке x в момент времени t; v – ско-
рость распространения волн по струне; L – длина струны; ϕ(x) – началь-
ные смещения точек струны; ψ(x) – начальные скорости точек струны.
Решая задачу (8) методом разделения переменных, мы приходим к
следующим выражениям:
u(x, t) =
∞
X
n
X
n
(x)T
n
(t),
X
n
(x) = sin(λ
n
x), λ
n
=
πnv
L
,
T
n
(t) = A
n
cos(vλ
n
t) + B
n
sin(vλ
n
t),
A
n
=
2
L
L
Z
0
ϕ(x)X
n
(x) dx, B
n
=
2
vλ
n
L
L
Z
0
ψ(x)X
n
(x) dx .
(9)
В совокупности, эт и выражения и представляют со бо й искомое ре-
шение задачи (8). Таким образом, чтобы получить явный вид u(x, t),
необходимо задать функции X
n
(x), вычислить по приведенным форму-
лам коэффициенты A
n
и B
n
, подставить их в выражения для T
n
и, в
итоге, пос т роить в виде суммы функцию u(x, t). Разумеется, в практи-
ческом численном расчете в это й с ум м е берется лишь конечное число
слагаемых, количество которых определяет ся требуемой точностью ре-
зультата.
8
    3) utt = 4uxx , 0 < x < ∞, t > 0
       u(x, 0) = 0,
       ut (x, 0) = 0,
       ux (0, t) = exp(−4(t − 4)2).


                               Занятие 3
              КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ

    Вспомним, как решается задача о свободных колебаниях ограничен-
ной струны c закрепленными концами:

                        utt = v 2 uxx , 0 < x < L, t > 0
                        u(0, t) = 0, u(L, t) = 0,                      (8)
                        u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x),

где u = u(x, t) – отклонение струны в точке x в момент времени t; v – ско-
рость распространения волн по струне; L – длина струны; ϕ(x) – началь-
ные смещения точек струны; ψ(x) – начальные скорости точек струны.
     Решая задачу (8) методом разделения переменных, мы приходим к
следующим выражениям:
                    ∞
                    X
        u(x, t) =       Xn (x)Tn(t),
                    n
                                   πnv
        Xn (x) = sin(λn x),     λn =    ,
                                     L
                                                                       (9)
        Tn(t) = An cos(vλn t) + Bn sin(vλnt),
                ZL                              ZL
              2                             2
        An =       ϕ(x)Xn(x) dx, Bn =              ψ(x)Xn(x) dx .
              L                           vλn L
                0                                  0

    В совокупности, эти выражения и представляют собой искомое ре-
шение задачи (8). Таким образом, чтобы получить явный вид u(x, t),
необходимо задать функции Xn (x), вычислить по приведенным форму-
лам коэффициенты An и Bn , подставить их в выражения для Tn и, в
итоге, построить в виде суммы функцию u(x, t). Разумеется, в практи-
ческом численном расчете в этой сумме берется лишь конечное число
слагаемых, количество которых определяется требуемой точностью ре-
зультата.


                                       8

Страницы