Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Упражнение 1. Постр ойте с помощью Mathematica приближенное
численное решение задачи (8), полагая v = 2, L = 10, д ля следующих
частных случаев:
1) u(x, 0) = exp(−x/5) sin(πx/10), u
t
(x, 0) = 0;
2) u(x, 0) = exp
−(x − 3)
2
/3
sin(πx/10), u
t
(x, 0) = 0;
3) u(x, 0) = 0, u
t
(x, 0) = exp(−x/5) sin(πx/10).
В каждом из случаев постройте несколько графиков u(x, t) как функ-
ции x, для нескольких (трех – четырех) фиксирован н ых моментов времени
t. Моменты времени подберите самостоятельно так, чтобы построенные гра-
фики на глядно представ ляли основные этапы измен ения формы струны со
временем. Количество слагаемых в сумме по n при расчете u(x, t) выберите
так, чтобы дальнейшее увеличение числа слагаемых не приводило к суще-
ственному визуальному изменению формы графиков. Представьте решения
также в виде анимации.
Рассмотрим еще одну краевую задачу:
u
tt
= v
2
u
xx
, 0 < x < L, t > 0
u
x
(L, t) = −h u(L, t), u(0, t) = 0, (10)
u(x, 0) = 0.1, u
t
(x, 0) = 0.
Краевые задачи такого вида возникают, например, при изучении
продольных колебаний упругого стержня, один конец которого жестко
закреплен, а другой с о единен с пружиной с коэффициентом упругости
h. Как и в предыдущем случае, уравнение решается методом разделения
переменных.
Разделяя переменные в (10), мы приходим к следующим уравнениям
для функций X
n
(x) и T
n
(t):
X
′′
n
(x) + λ
2
X
n
(x) = 0,
T
′′
n
(t) + v
2
λ
2
T
n
(t) = 0. (11)
Задача Штурма-Лиувилля для уравнения (10) име ет следующий
вид:
X
′′
n
(x) + λ
2
X
n
(x) = 0,
X(0) = 0, (12)
X
′
(L) + h X(L) = 0.
9
    Упражнение 1. Постройте с помощью Mathematica приближенное
численное решение задачи (8), полагая v = 2, L = 10, для следующих
частных случаев:
       1) u(x, 0) = exp(−x/5) sin(πx/10), ut (x, 0) = 0;
       2) u(x, 0) = exp −(x − 3)2/3 sin(πx/10), ut(x, 0) = 0;
                                   

       3) u(x, 0) = 0,    ut (x, 0) = exp(−x/5) sin(πx/10).
     В каждом из случаев постройте несколько графиков u(x, t) как функ-
ции x, для нескольких (трех – четырех) фиксированных моментов времени
t. Моменты времени подберите самостоятельно так, чтобы построенные гра-
фики наглядно представляли основные этапы изменения формы струны со
временем. Количество слагаемых в сумме по n при расчете u(x, t) выберите
так, чтобы дальнейшее увеличение числа слагаемых не приводило к суще-
ственному визуальному изменению формы графиков. Представьте решения
также в виде анимации.
       Рассмотрим еще одну краевую задачу:

                         utt = v 2 uxx , 0 < x < L, t > 0
                         ux (L, t) = −h u(L, t), u(0, t) = 0,       (10)
                         u(x, 0) = 0.1, ut (x, 0) = 0.

    Краевые задачи такого вида возникают, например, при изучении
продольных колебаний упругого стержня, один конец которого жестко
закреплен, а другой соединен с пружиной с коэффициентом упругости
h. Как и в предыдущем случае, уравнение решается методом разделения
переменных.
    Разделяя переменные в (10), мы приходим к следующим уравнениям
для функций Xn (x) и Tn (t):

                               Xn′′ (x) + λ2 Xn (x) = 0,
                               Tn′′(t) + v 2λ2 Tn (t) = 0.          (11)

       Задача Штурма-Лиувилля для уравнения (10) имеет следующий
вид:

                               Xn′′ (x) + λ2 Xn (x) = 0,
                               X(0) = 0,                            (12)
                               X ′ (L) + h X(L) = 0.

                                           9

Страницы