Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Теперь рассмотрим задачу с граничным условием другого типа:
u
tt
= v
2
u
xx
, 0 < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = ϕ(x),
u
t
(x, 0) = ψ(x),
u
x
(0, t) = g(t).
(6)
Для ее решения требуется четное продолжение начальных условий:
ϕ
2
(x) =
(
ϕ(x), x ≥ 0
ϕ(−x), x < 0
, ψ
2
(x) =
(
ψ(x), x ≥ 0
ψ(−x), x < 0
и вспомогательная функция
µ
2
(x, t) =
−v
t−x/v
Z
0
g(τ ) dτ, t ≥ x/v
0, t < x/v.
Решение, соответственно, будет иметь вид:
u(x, t) =
1
2
(ϕ
2
(x + vt) + ϕ
2
(x − vt)) +
1
2v
x+vt
Z
x−vt
ψ
2
(z) dz
+
1
2v
t
Z
0
dτ
x+v(t−τ)
Z
x−v(t−τ)
f(z, τ) dz + µ
2
(x, t).
(7)
Упражнение 1. Решите следующие уравнения, исп ользуя формулы
(5) и (7):
1) u
tt
= 4u
xx
, 0 < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = exp(−4(x − 4)
2
),
u
t
(x, 0) = 0,
u(0, t) = 0;
2) u
tt
= 4u
xx
, 0 < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = 0,
u
t
(x, 0) = exp(−4(x − 4)
2
),
u(0, t) = 0;
7
    Теперь рассмотрим задачу с граничным условием другого типа:
                     utt = v 2uxx , 0 < x < ∞,                  t>0
                     u(x, 0) = ϕ(x),
                                                                                        (6)
                     ut(x, 0) = ψ(x),
                     ux (0, t) = g(t).
    Для ее решения требуется четное продолжение начальных условий:
              (                           (
               ϕ(x),      x≥0              ψ(x),      x≥0
     ϕ2(x) =                   , ψ2 (x) =
               ϕ(−x),     x<0              ψ(−x),     x<0
и вспомогательная функция
                           
                               t−x/v
                                Z
                           
                           
                           −v      g(τ ) dτ ,                   t ≥ x/v
                           
                           
                           
               µ2 (x, t) =      0
                           
                           
                           
                           
                           
                            0,                                   t < x/v.
                           

    Решение, соответственно, будет иметь вид:
                                                                     x+vt
                   1                             1
                                                                     Z
          u(x, t) = (ϕ2(x + vt) + ϕ2(x − vt)) +                             ψ2 (z) dz
                   2                            2v
                                                                    x−vt
                                     x+v(t−τ                                            (7)
                          Zt           Z )
                      1
                 +             dτ               f (z, τ ) dz + µ2 (x, t).
                     2v
                          0         x−v(t−τ )



     Упражнение 1. Решите следующие уравнения, используя формулы
(5) и (7):

    1) utt = 4uxx , 0 < x < ∞, t > 0
       u(x, 0) = exp(−4(x − 4)2),
       ut (x, 0) = 0,
       u(0, t) = 0;

    2) utt = 4uxx , 0 < x < ∞, t > 0
       u(x, 0) = 0,
       ut (x, 0) = exp(−4(x − 4)2),
       u(0, t) = 0;

                                                 7

Страницы