Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 28 стр.

    5. Устойчивость
    С понятием устойчивости мы уже познакомились в заданиях вычисления
производных.
    Устойчивость это свойство алгоритма решения задачи или самой задачи, при
котором малое изменение входных данных приводит к малому изменению
результата.
    Конечно, малость возмущения и отклика должна рассматриваться в контексте
конкретной задачи. Так, в сравнении с точностью представления вещественных
чисел в компьютере, результат работы конечноразностной формулы (2.3.9) может
быть плохим. Однако полученная абсолютная точность может быть вполне
приемлемой.
    Устойчивыми или неустойчивыми могут быть как сами задачи, так и численные
алгоритмы их решения. Приведем примеры неустойчивых задач:
    1) Уравнение (x − a )n = ε . При n = 10 и нулевой правой части малое возмущение в
правой части 10-10 приведет к изменению результата на величину примерно 10-1.
    2)    Пример         Уилкинсона. Требуется    решить алгебраическое уравнение,
записанное в виде
     x 20 − 210 x19 + ...20! =0                                           (5.1)
    которое сводится к
    (x − 1)(x − 2)...(x − 20) = 0                                         (5.2)
    и имеет набор корней x = 1,2,...20
    Предположим, что о сведении к виду (5.2) мы не знаем и решаем (5.1)
численно. Ошибка в задании коэффициента 210 на величину 10-7 изменит не только
значение корней но и тип решения. Около половины корней станут комплексными.
    3) Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
     x + 10 y = 11
                                                                         (5.3)
    100 x + 1001 y = 1101
    Эта СЛАУ имеет корни x = 1 , y = 1 .
    Внеся небольшие изменения:
     x + 10 y = 11.01
                                                                         (5.4)
    100 x + 1001 y = 1101

                                             28