Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26
4. Практическое правило оценки погрешности Рунге и адаптивные
вычисления
Предыдущие задания по численному интегрированию и дифференцированию
функций включали в себя нахождение погрешности вычислений как разницы между
известным точным и полученным численным решениями. На практике такой случай
может встретиться, например, если разрабатывается новый, более быстрый
алгоритм для некоторой задачи, точные решения которой уже известны. Но чаще
возникают задачи с неизвестным заранее ответом. При этом возникает
необходимость оценки погрешности полученного численного результата.
Наличие разложения для погрешности в степенной ряд и знакомство с
понятием порядка аппроксимации позволяет просто понять правило Рунге для
оценки погрешности. Рассмотрим пример вычисления интеграла с помощью
составных квадратур центральных прямоугольников, имеющих второй порядок
аппроксимации интеграла:
( )
2*
hOII +=
(4.1)
Значит, погрешность интегрирования можно представить как:
2*
khII ≈−=
ε
(4.2)
где
k
- некоторое число, не зависящее от
h
.
Получив два численных значения интеграла для длин отрезков
h
и
2/h
,
обозначим их как
*
h
I
и
*
2/h
I
, соответственно. Тогда разность этих численных
значений позволит нам найти
k
:
(4.3)
Погрешность вычислений интегралов
*
h
I
и
*
2/h
I
при этом составит:
( )
( )
*
2/
*
2*
3
4
hhh
IIkhI −=≈
ε
( )
( )
*
2/
*
2*
2/
3
1
hhh
IIkhI −=≈
ε
(4.4)
Можно видеть, что для метода с порядком аппроксимации
n
с применением
вышеописанного способа с шагами
h
и
2/h
:
( ) ( )
*
2/
**
21
1
hh
n
h
III −
−
≈
−
ε
   4. Практическое правило оценки погрешности Рунге и адаптивные
вычисления


    Предыдущие задания по численному интегрированию и дифференцированию
функций включали в себя нахождение погрешности вычислений как разницы между
известным точным и полученным численным решениями. На практике такой случай
может встретиться, например, если разрабатывается новый, более быстрый
алгоритм для некоторой задачи, точные решения которой уже известны. Но чаще
возникают             задачи            с           неизвестным   заранее   ответом.   При   этом   возникает
необходимость оценки погрешности полученного численного результата.
    Наличие разложения для погрешности в степенной ряд и знакомство с
понятием порядка аппроксимации позволяет просто понять правило Рунге для
оценки погрешности. Рассмотрим пример вычисления интеграла с помощью
составных квадратур центральных прямоугольников, имеющих второй порядок
аппроксимации интеграла:
    I = I * + O h2   ( )                                                                            (4.1)
    Значит, погрешность интегрирования можно представить как:
    ε = I * − I ≈ kh 2                                                                              (4.2)
    где k - некоторое число, не зависящее от h .
    Получив два численных значения интеграла для длин отрезков h и h / 2 ,
обозначим их как I h* и I h* / 2 , соответственно. Тогда разность этих численных
значений позволит нам найти k :
                     3
    I h* − I h* / 2 ≈ kh 2                                                                          (4.3)
                     4
    Погрешность вычислений интегралов I h* и I h* / 2 при этом составит:

    ε (I h* ) ≈ kh 2 =          (               )
                           4 * *
                             Ih − Ih/2
                           3

    ε (I h* / 2 ) ≈ kh 2 =          (               )
                             1 * *
                               Ih − Ih/2                                                            (4.4)
                             3
    Можно видеть, что для метода с порядком аппроксимации n с применением
вышеописанного способа с шагами h и h / 2 :

    ε (I h* ) ≈             (               )
                    1
                       −n
                          I h* − I h* / 2
                  1− 2
                                                                    26

Страницы