Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 24 стр.

     Заменим f (x ± h / 2) через степенные ряды Тейлора в окрестности точки x :
                                                 h2           h3                                    h2          h3    
                    f (x ) + f ′( x ) + f ′′( x ) + f ′′′( x ) + ... −  f ( x ) − f ′(x ) + f ′′(x ) − f ′′′(x ) + ...
                                      h                                                     h

      f ′* ( x ) = 
                                      2           8            48                         2          8           48    
                                                                       h

      f ′* (x ) = f ′(x ) + f ′′′(x )
                                        h2
                                        24
                                                              ( )
                                           + ... = f ′(x ) + O h 2                                               (2.3.10)

     Точность аппроксимации здесь на один порядок лучше.


     Задание 3.2
     Дополнить решение задания 3.1 симметризованной конечной разностью (2.3.9). Определить
предельную точность нахождения первой производной в этом методе, по сравнению с конечной
разностью (2.3.6).


     Из проделанных выкладок ясно, что для вычисления первой производной мы
можем построить нечто похожее на квадратуры Гаусса в задачах численного
интегрирования. Так, взяв две конечноразностные формулы вида (2.3.9), мы можем
их скомбинировать с разными весами с целью исключения квадратичного
слагаемого в степенном ряде для конечно-разностной формулы.


     Задание 3.3
     Из условия максимального порядка аппроксимации определить веса A , B в формуле
приближенного вычисления первой производной
                       f (x + h / 2) − f (x − h / 2)    f (x + h ) − f (x − h )
      f ′* ( x ) = A                                 +B
                                     h                            2h
     Используя полученный результат, дополнить решение заданий 3.1, 3.2. Определить порядок
аппроксимации.


     Конечно-разностные выражения для производных более высоких порядков
могут быть построены различным образом. Например, можно использовать
геометрические аналогии. Через любые три точки всегда можно провести
интерполирующую параболу, причем единственным образом. При этом, поскольку
парабола является приближением к функции, следует ожидать, что и вторая
производная от нее в центральной точке будет приближенно равна второй
производной от параболы. Другой возможный способ состоит в двукратном
                                                                     24