Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 23 стр.

    Мы проанализировали только вклад вычислительной погрешности в численном
нахождении производной. Кроме этого вклада будет также и конечная точность
аппроксимации производной с помощью (2.3.5), определяемая малостью h .
Выражение (2.3.5) представляет собой пример конечной разности, этот термин
встретится в дальнейшем при численном решении дифференциальных уравнений.
    Рассмотрим точность аппроксимации. Обозначим приближенное значение
производной:
                    f (x + h ) − f (x )
     f ′* ( x ) =                                                                                                          (2.3.6)
                            h
    И определим ошибку вычислений:
    ε = f ′* (x ) − f ′(x )                                                                                                (2.3.7)
    Представим f (x + h ) через разложение в ряд Тейлора в окрестности точки x .
Тогда:


                                                                            
                   f (x ) + f ′( x )h + 2 f ′′( x )h + 6 f ′′′( x )h + ... − f ( x )
                                          1           2  1            3


     f ′* ( x ) =                                                                        = f ′(x ) + f ′′( x )h + f ′′′( x )h 2 + ...
                                                                                                    1            1
                                                     h                                              2            6
     f ′* ( x ) = f ′( x ) + O(h )                                                                                         (2.3.8)


    То        есть         простейшая               конечная         разность             (2.3.6)      представляет               собой
аппроксимацию производной первого порядка точности по h . Обратимся к
вышеописанному примеру с численным нахождением производной от f = e x . С
одной стороны, нам необходимо уменьшать                                              h,     чтобы повысить точность
аппроксимации, с другой – нельзя делать h чересчур малым из-за вычислительной
погрешности. Видно, что сочетание этих требований автоматически «загрубляет»
вычисления, в которых присутствует конечная разность (2.3.6) для первой
производной. При этом эффект получается таким, словно бы «потерялось» около
половины значащих знаков.
    Увеличить точность вычислений производных может помочь более точная
аппроксимация. Рассмотрим конечно-разностное выражение, похожее на (2.3.6), но
симметризованное относительно точки x :
                    f (x + h / 2) − f (x − h / 2)
     f ′* ( x ) =                                                                                                          (2.3.9)
                                  h
                                                                      23