Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22
3. Численное дифференцирование
Численное нахождение производных, на первый взгляд, представляет собой
тривиальную задачу. Используя определение первой производной, можно записать:
( )
( ) ( )
( ) (
)
h
xfhxf
x
x
fxxf
xf
x
−+
≈
∆
−∆+
=
′
∞→
lim
(2.3.4)
И уменьшать
h
до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.
Такой «очевидный» подход таит в себе опасности. Для нахождения таким способом
первой производной нам придется делить одну малую величину на другую.
Обозначим точность представления числителя, как
ε
. Она практически всегда будет
конечной, из-за вычислительной погрешности. Тогда погрешность вычисления
первой производной, связанная с конечной точностью представления числителя
будет:
( )
( ) ( )
( ) ( )
hh
xfh
xf
h
xfhxf
xf
εε
+
−+
=
+−+
≈
′
(2.3.5)
Таким образом, уменьшение
h
с целью увеличения точности результата,
встретит на своем пути препятствие в виде вклада в погрешность
h/
ε
. Допустим, у
нас есть возможность задавать вещественные числа с точностью около 14 знаков
после запятой и мы хотим взять первую производную от функции вида
x
ef =
в
точке
0=x
. При
вклад в погрешность вычисления первой производной уже
будет
7
10
−
. Дальнейшее уменьшение
h
даст только ухудшение результата.
Задание 3.1
С помощью формулы (2.3.5) найти численно значения первых производных от функции
x
ef
−
=
для различных значений
h
и для различной точности представления вещественных чисел.
Определить погрешность численного решения, сравнивая с точным значением производной.
Результаты представить в виде таблиц:
h
e
0.1
0.01
…. 
     3. Численное дифференцирование

     Численное нахождение производных, на первый взгляд, представляет собой
тривиальную задачу. Используя определение первой производной, можно записать:
                        f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ( x + h ) − f ( x )
     f ′( x ) = lim                           ≈                                  (2.3.4)
                 x →∞           ∆x                      h
     И уменьшать h до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.
Такой «очевидный» подход таит в себе опасности. Для нахождения таким способом
первой производной нам придется делить одну малую величину на другую.
Обозначим точность представления числителя, как ε . Она практически всегда будет
конечной, из-за вычислительной погрешности. Тогда погрешность вычисления
первой производной, связанная с конечной точностью представления числителя
будет:
                 f (x + h ) − f (x ) + ε f (x + h ) − f (x ) ε
     f ′(x ) ≈                          =                   +                    (2.3.5)
                            h                    h            h
     Таким образом, уменьшение h с целью увеличения точности результата,
встретит на своем пути препятствие в виде вклада в погрешность ε / h . Допустим, у
нас есть возможность задавать вещественные числа с точностью около 14 знаков
после запятой и мы хотим взять первую производную от функции вида f = e x в
точке x = 0 . При h ≈ 10 −7 вклад в погрешность вычисления первой производной уже
будет 10 −7 . Дальнейшее уменьшение h даст только ухудшение результата.


     Задание 3.1
     С помощью формулы (2.3.5) найти численно значения первых производных от функции
f = e − x для различных значений h и для различной точности представления вещественных чисел.
Определить погрешность численного решения, сравнивая с точным значением производной.
Результаты представить в виде таблиц:
                                 h                                          e
                                0.1
                               0.01
                                ….




                                                                       22

Страницы