Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 20 стр.

     Рассмотрим применение метода Монте-Карло в простейшем случае. Допустим,
нам известен диапазон значений функции [ f min , f max ] на отрезке интегрирования
[xmin , xmax ]. Тогда можно использовать геометрический смысл интеграла как площади
фигуры под функцией. Бросая случайным образом точку на прямоугольник
[ f min , f max ] , [xmin , xmax ] будем подсчитывать число событий n , когда точка оказывается
под функцией. Общее число бросаний обозначим N . Тогда вероятность попадания
точки в фигуру под функцией будет найдена в численном эксперименте:
            n
     P=                                                                                   (2.3.1)
            N
     С другой стороны, эту вероятность мы можем найти аналитически:
                                                 xmax
                             1
            (xmax − xmin )( f max − f min ) x∫
     P=                                                 f ( x)dx                          (2.3.2)
                                                  min



     Понятно, что сделав, например, 1000 одинаковых бросаний, в разных случаях
мы получим разное число n . Распределение случайной величины n будет
биномиальным, с математическим ожиданием, которое определяется сравнением
выражений (2.3.1) и (2.3.2). При большом числе бросаний биномиальное
распределение n будет стремиться к пуассоновскому, с дисперсией n . Тогда
стандартное отклонение                         n будет определять ошибку метода вычислений в методе

Монте-Карло. Интеграл будет равен
     xmax

      ∫ f ( x)dx = lim(x               − xmin )( f max − f min )
                                                                   n
                                 max                                                      (2.3.3)
                      n →∞                                         N
     xmin


     Относительная ошибка интегрирования составит 1 n . Это значит, что для
достижения абсолютной точности 10-3 интегрирования функции e − x из Задания 1
нам потребуется сделать несколько миллионов бросаний. Для увеличения точности
интегрирования в 10 раз потребуется увеличение числа бросаний в 100 раз. В этом
смысле метод Монте-Карло имеет порядок аппроксимации O(h1 / 2 ) . Это хуже, чем у
простейшей квадратуры левых прямоугольников.
     На первый взгляд, метод Монте-Карло дает гораздо более скромные
результаты, по сравнению с методом квадратур. Однако в применении к
многомерным задачам выигрыш может быть существенным, при удачном выборе
области, в которую происходят бросания. Действительно, при фиксированном числе

                                                                       20