Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 19 стр.

     Построить аналитические выражения для 3- и 4-узловой квадратуры Гаусса.


     Выполненные задания ярко демонстрируют выигрыш от применения правильно
выбранного численного метода. Время, необходимое для вычисления интеграла с
заданной точностью, по мере выполнения заданий было сокращено более чем в
миллион раз.



     2.3 Метод Монте-Карло


     Интегрирование с помощью квадратур удобно, когда подынтегральная функция
имеет сходящийся степенной ряд на отрезке интегрирования, и когда интеграл
берется по небольшому числу переменных. Если эти условия не выполняются,
достижение требуемой точности интегрирования может потребовать большого
объема вычислений для любых квадратур.
     Допустим,      интегрирование       некоторой      одномерной       задачи        требует
использования составной квадратуры с числом отрезков разбиения 10. Эта задача
может быть легко решена вручную на бумаге или на калькуляторе. Теперь
представим себе аналогичную 10-мерную задачу. Вложенный интеграл потребует
применения 1010 квадратур, что окажется трудной задачей даже для современных
компьютеров.      При     этом    обязательно       возникнет    проблема       накопления
вычислительной погрешности. Причем скорость накопления вычислительной
погрешности может превышать скорость сходимости неудачно выбранной
квадратуры.
     Можно также привести примеры «трудноинтегрируемых» функций для метода
квадратур. Это функции, не имеющие разложения в степенной ряд или имеющие
малый радиус сходимости в некоторых точках отрезка интегрирования. К числу
таких функций, при некоторых отрезках интегрирования, относятся                x , 1 / x , tg ( x ) ,

e x и т.д.
 2




     Для описанных случаев выгодным может быть использование метода Монте-
Карло. Этот метод не накладывает никаких требований на сходимость и
существование степенного ряда в области интегрирования.

                                               19