Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 17 стр.

                                h3                 h5
     I * = f (0 )h + f ′′(0 )      + f ( 4 ) (0 )      + ...                                 (2.2.9)
                                24                3456
     Погрешность аппроксимации:

     ε =I −I = f
           *           ( 4)       h5  1 1 
                                 384  9 5 
                                                   ( 4)  h5
                              (0)  −  + ... = − f (0) + ... = O h 5
                                                        864
                                                                     ( )                     (2.2.10)

     Это и есть двухузловая квадратура Гаусса. Запишем ее окончательный вид и
сравним с квадратурой трапеций (2.1.12).
          h       h        h 
     I * =  f  −    + f +                                                            (2.2.11)
          2  2 3          2 3 

     Видно, что отличие заключается лишь в коэффициенте 1 / 3 в аргументах
функции. Точки, на которых строится «трапеция» в 2-узловой квадратуре Гаусса
оказываются сдвинуты к точке x = 0 . Эта формула, если её использовать без знания
о том, как она была получена, обычно вызывает интуитивное неприятие из-за
отсутствия          простых               геометрических        аналогов.   Действительно,      почему
«неправильная» трапеция будет давать более точные результаты, в отличие от
правильной? Однако это действительно так, в чем предлагается удостовериться в
следующем задании:


     Задание 2.2.1
     Дополнить решения Заданий 1.1, 2.1, 2.1.1 методом 2-узловой квадратуры Гаусса. Найти в
численном эксперименте порядок аппроксимации 2-узловой квадратуры и сравнить его с
теоретическим. Проверить соотношение погрешностей в методах 2-узловой квадратуры Гаусса и в
методе Симпсона.


     Итак, 2-узловая квадратура имеет порядок аппроксимации одиночной
квадратуры O(h 5 ), такой же, как и квадратура Симпсона. Сравнивая выражения для
степенных рядов погрешности в этих квадратурах, можно видеть, что для малых h
знаки погрешности будут разными, а соотноситься они будут примерно как 3 к 10
(абсолютная точность квадратуры Симпсона выше).
     В ходе вывода 2-узловой квадратуры Гаусса использовались два варьируемых
параметра, при этом полученная квадратура дает совпадение первых двух слагаемых
в степенном ряде с аналогичным рядом для точного значения интеграла. Попробуем
предсказать, что получится в решении задачи об оптимальном построении 3-узловой
                                                               17