Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

16
Разложение в степенной ряд для точного значения интеграла (2.1.10) является
нечетной функцией по
h
. Из (2.2.1) видно, что нечетную функцию со степенным
рядом вида (2.1.10) можно получить только в случае
ααα
==
21
,
hAA
β
==
21
(2.2.2)
где
α
и
β
- некоторые постоянные
Условия (2.2.2) означают симметричность весов и расположения узлов
квадратуры относительно точки
0=x
. Такой симметрией будут обладать квадратуры
Гаусса для любого числа узлов. Квадратурная формула (2.2.1) приобретает вид:
++
−=
22
*
h
f
h
fhI
ααβ
(2.2.3)
Запишем степенной ряд:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
...
384
0
48
0
8
0
2
002/
4
)4(
3
)3(
2
±+±
′′
+
′
±=±
h
f
h
f
h
f
h
ffhf
αααα
α
(2.2.4)
Тогда
(2.2.5)
Повторим здесь разложение в степенной ряд (2.1.10) для точного значения
интеграла:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
...0
1920
1
0
24
1
0
...0
24
1
0
6
1
0
2
1
00
5)4(3
2/
2/
4)4(32
2/
2/
++
′′
+=
=
+
′′′
+
′′
+
′
+==
∫∫
+
−
+
−
hfhfhf
dxxfxfxfxffdxxfI
h
h
h
h
(2.2.6)
Сравнивая (2.2.5) и (2.2.6) видим, что выбором
α
и
β
можно обеспечить
совпадение степенных рядов точного значения интеграла и квадратурной формулы
до кубического слагаемого. При этом
=
=
24
1
4
12
2
α
β
β
(2.2.7)
Откуда получаем решение задачи об оптимальном выборе узлов в двухузловой
квадратуре:
2
1
=
β
,
3
1
=
α
(2.2.8)
Степенной ряд для квадратуры приобретает вид: 
    Разложение в степенной ряд для точного значения интеграла (2.1.10) является
нечетной функцией по h . Из (2.2.1) видно, что нечетную функцию со степенным
рядом вида (2.1.10) можно получить только в случае
    α1 = α 2 = α , A1 = A2 = βh                                                                                    (2.2.2)
    где α и β - некоторые постоянные
    Условия (2.2.2) означают симметричность весов и расположения узлов
квадратуры относительно точки x = 0 . Такой симметрией будут обладать квадратуры
Гаусса для любого числа узлов. Квадратурная формула (2.2.1) приобретает вид:
                           h            h 
    I * = βh f  − α         + f +α                                                                          (2.2.3)
                           2            2  

    Запишем степенной ряд:

     f (± αh / 2 ) = f (0 ) ± f ′(0 )
                                        αh
                                             + f ′′(0 )
                                                          (αh ) 2 ± f (3) (0) (αh ) 3 + f ( 4) (0) (αh ) 4 ± ...   (2.2.4)
                                        2                  8                    48                 384
    Тогда
             
    I * = βh 2 f (0 ) + f ′′(0 )
                                   (αh ) 2 + f ( 4) (0) (αh ) 4 + ...                                            (2.2.5)
                                                                      
                                    4                  192           

    Повторим здесь разложение в степенной ряд (2.1.10) для точного значения
интеграла:
         +h / 2              +h / 2
                                                                                           4 
               f ( x )dx =     f (0 ) + f ′(0 )x + 2 f ′′(0 )x + 6 f ′′′(0 )x + 24 f (0 )x ... dx =
                                                        1           1             1 ( 4)
    I=     ∫                   ∫
                                                                  2            3

        −h / 2         −h / 2                                                                                      (2.2.6)
    = f (0 )h +    f ′′(0 )h 3 +            f ( 4 ) (0 )h 5 + ...
                1                       1
                24                  1920
    Сравнивая (2.2.5) и (2.2.6) видим, что выбором α и β можно обеспечить
совпадение степенных рядов точного значения интеграла и квадратурной формулы
до кубического слагаемого. При этом
    2 β = 1
    
    β 2 1                                                                                                         (2.2.7)
     4 α = 24

    Откуда получаем решение задачи об оптимальном выборе узлов в двухузловой
квадратуре:
          1            1
    β= ,α=                                                                                                         (2.2.8)
          2             3

    Степенной ряд для квадратуры приобретает вид:

                                                                           16

Страницы