Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14
противном случае не будет выполняться условие сходимости полученной суммы к
точному решению при
0→h
.
( ) ( )
( ) ( )
hfAh
h
fhf
AI 01
2
2/2/
*
−+⋅
+−
=
(2.1.18)
Вспомним, что погрешность квадратуры трапеций примерно вдвое больше по
модулю, чем в методе центральных прямоугольников и всегда имеет
противоположный знак. Тогда, задавшись целью эту ошибку скомпенсировать (что
значит исчезновение еще одного слагаемого в степенном ряде), нужно чтобы
AA −=
12
(2.1.19)
Откуда получаем
3/1=A
. Подставляя в (2.1.18) получаем квадратуру Симпсона.
Проанализируем подробно порядок аппроксимации этой квадратурной
формулы.
Для метода трапеций, из (2.1.16):
(
) ( )
...
480
0
12
0
5
)4(
3
*
h
f
h
fII +
′′
+=
(2.1.20)
Для метода центральных прямоугольников, из (2.1.10):
( )
( )
...0
1920
1
0
24
1
5)4(3*
hfhfII −
′′
−=
(2.1.21)
Подставляя степенные ряды для квадратур трапеций и прямоугольников в
(2.1.18):
( )
( ) ( ) ( )
−
′′
−+
+
′′
+= ...0
1920
1
0
24
1
3
2
...
480
0
12
0
3
1
5)4(3
5
)4(
3
*
hfhfI
h
f
h
fII
(2.1.22)
Получаем:
( )
( )
5
5
)4(*
...
2880
0 hO
h
fII =+=−=
ε
(2.1.22)
Задание 2.1.1
Дополнить решения Заданий 1.1 и 2.1 методами трапеций и Симпсона. Сравнить объем
вычислений при использовании метода левых прямоугольников и при использовании метода
Симпсона. Требуемая погрешность конечного результата 10
-7
. 
противном случае не будет выполняться условие сходимости полученной суммы к
точному решению при h → 0 .
              f (− h / 2 ) + f (h / 2 )
     I* = A                             ⋅ h + (1 − A) f (0 )h                                                (2.1.18)
                         2
     Вспомним, что погрешность квадратуры трапеций примерно вдвое больше по
модулю,        чем          в     методе         центральных           прямоугольников               и   всегда   имеет
противоположный знак. Тогда, задавшись целью эту ошибку скомпенсировать (что
значит исчезновение еще одного слагаемого в степенном ряде), нужно чтобы
     2A = 1− A                                                                                               (2.1.19)
     Откуда получаем A = 1 / 3 . Подставляя в (2.1.18) получаем квадратуру Симпсона.
     Проанализируем                  подробно               порядок    аппроксимации             этой     квадратурной
формулы.
     Для метода трапеций, из (2.1.16):
                          h3           h5
     I = I + f ′′(0 )
      *
                             + f (0 )
                                ( 4)
                                          ...                                                                (2.1.20)
                          12          480
     Для метода центральных прямоугольников, из (2.1.10):

                   f ′′(0 )h 3 −      f ( 4 ) (0 )h 5 ...
                1                  1
     I* = I −                                                                                                (2.1.21)
                24               1920
     Подставляя степенные ряды для квадратур трапеций и прямоугольников в
(2.1.18):
          1             h3               h5  2                                                
     I * =  I + f ′′(0 ) + f ( 4 ) (0 )                   f ′′(0 )h 3 −      f ( 4 ) (0 )h 5 ...
                                                         1                 1
                                            ... +  I −                                                     (2.1.22)
          3             12              480  3  24                    1920                    

     Получаем:
                              h5
     I =I+ f
      *           ( 4)
                         (0)      + ...
                             2880

     ε = I * − I = f ( 4) (0 )
                                  h5
                                 2880
                                                 ( )
                                      + ... = O h 5                                                          (2.1.22)


     Задание 2.1.1
     Дополнить решения Заданий 1.1 и 2.1 методами трапеций и Симпсона. Сравнить объем
вычислений при использовании метода левых прямоугольников и при использовании метода
Симпсона. Требуемая погрешность конечного результата 10-7.




                                                                  14

Страницы