Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 13 стр.

      Подставляя (2.1.14) в (2.1.12), получим, что (2.1.12) также может быть
представлено степенным рядом:
                                 2
                                                h4         h                          3
                                                                                                      h5
      I * =  2 f (0) + f ′′(0) + f ( 4 ) (0)     + ...  ⋅ = f (0 ) ⋅ h + f ′′(0 ) + f ( 4 ) (0 )
                                h                                                    h
                                                                                                         + ...    (2.1.15)
                               4              192          2                       8               384

      Найдем теперь погрешность метода трапеций, сравнивая (2.1.13) и (2.1.15):

      ε = I * − I = f ′′(0)
                              h3
                              12
                                 + f ( 4 ) (0 )
                                                 h5
                                                480
                                                           ( )
                                                    ... = O h 3                                                   (2.1.16)

      Интересно отметить, что погрешности в методе трапеций и в методе
центральных прямоугольников имеют схожий вид, но разный знак главного члена в
соответствующем степенном ряде. При малых h погрешность метода трапеций
будет с хорошей точностью по модулю вдвое больше погрешности метода
центральных             прямоугольников.                    Это      соотношение               погрешностей          иногда
используется для оценки значения интеграла сверху и снизу. Т.е. одновременное
применение двух методов даст нам интервал, внутри которого точно находится
истинное значение интеграла.


      Метод Симпсона
      Идею метода трапеций можно представить следующим образом. Функция на
отрезке h интерполируется прямой, т.е. сама функция этой прямой линией
аппроксимируется. Далее берется интеграл от аппроксимирующей функции, и мы
получаем квадратуру трапеций (2.1.12). Этот подход можно развить, использую
аппроксимацию функцией более высокого порядка, например, параболой. Именно
так   получается              метод        Симпсона. Через                 три      соседних           точки     проводится
интерполяционный полином второй степени, и интеграл берется уже от него. В
итоге получается квадратурная формула, в справедливости которой нетрудно
убедиться самостоятельно:
             f (− h / 2 ) + 4 f (0 ) + f (h / 2 )
      I* =                                        ⋅h                                                              (2.1.17)
                             6
      Также квадратура Симпсона может быть получена в виде взвешенной суммы
квадратур трапеций и центральных прямоугольников. Обозначим вес квадратуры
трапеций A . Тогда вес квадратуры центральных прямоугольников будет 1 − A , в


                                                                    13