Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 11 стр.

    Здесь O(h 2 ) обозначает остаток разложения в степенной ряд. При малых h
остаток O(h 2 ) будет вести себя приближенно как величина, пропорциональная h 2 .
    Таким образом, определив погрешность вычислительного метода как:
    ε = I* − I                                                                           (2.1.7)
    Можно утверждать, что погрешность будет приближенно уменьшаться
вчетверо при уменьшении h вдвое, поскольку:

    ε = I − I = − f ′(x0 )
           *                 h2
                             2
                                         ( )
                                + ... = O h 2                                            (2.1.8)

    Иначе говоря, формула (2.1.5) аппроксимирует точное значение интеграла
(2.1.1) с порядком аппроксимации 2.
    Из проделанных выкладок можно видеть, что конкретное положение x0 отрезка
h не влияет на полученный результат. Действительно, линейной заменой аргумента

можно разместить отрезок h на оси x любым удобным нам образом, при этом вывод
о втором порядке аппроксимации останется неизменным. Будем использовать это
свойство в дальнейшем.
    Формула (2.1.5) представляет собой простейшую квадратурную формулу,
аппроксимирующую интеграл (2.1.1). Используя геометрический смысл интеграла,
можно вообразить самые различные аппроксимации для (2.1.1). Например, метод
трапеций или метод Симпсона. Все они будут иметь общий вид, который можно
выразить следующим образом:
           n
     I * = ∑ Ak f ( xk )                                                                 (2.1.9)
          k =1


    Семейство формул (2.1.9) называется квадратурными формулами. В случае
метода левых или центральных прямоугольников сумма в (2.1.9) состоит из одного
единственного слагаемого.
    При сравнении результата выполнения задания 1.1 с проделанным анализом
погрешности обязательно должен возникнуть вопрос, почему на практике
получается первый порядок погрешности аппроксимации для квадратуры левых
прямоугольников,           тогда        как     теоретический   расчет   дает   второй     порядок
аппроксимации. Дело в том, что применение метода левых прямоугольников было
сделано в виде составных квадратур, т.е. в виде суммы большого числа результатов
работы одиночной формулы (2.1.5). Число применений одиночной квадратуры
                                                        11