Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 10 стр.

     Для того, чтобы объяснить различия в результатах метода центральных
прямоугольников и метода левых прямоугольников, рассмотрим способ оценки
погрешности, основанный на разложении в ряд Тейлора. Этот способ в дальнейших
разделах курса встретится неоднократно.



     2.1 Простейшие квадратурные формулы


     Метод левых прямоугольников
     Рассмотрим интеграл от функции f (x ) на отрезке [x0 , x0 + h] :
            x0 + h

     I=      ∫ f (x )dx
             x0
                                                                                         (2.1.1)

     Разложим f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 , т.е. в левой границе
отрезка h :

        f ( x ) = f ( x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +     f ′′(x0 )(x − x0 ) + ...
                                                   1                   2
                                                                                         (2.1.2)
                                                   2
     И подставим это разложение в (2.1.1):
            x0 + h
                                                                                 
                      f ( x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + 2 f ′′(x0 )(x − x0 ) + ... dx
                                                       1
     I=      ∫
                                                                           2
                                                                                         (2.1.3)
             x0


     Теперь любая функция, представленная в виде степенного ряда, может быть
аналитически проинтегрирована, и мы получим результат также в виде степенного
ряда:
                                      h2             h3
     I = f (x0 ) ⋅ h + f ′(x0 )          + f ′′( x0 ) + ...                              (2.1.4)
                                      2              6
     Теперь заметим, что
     I * = f ( x0 ) ⋅ h                                                                  (2.1.5)
     Представляет собой формулу метода левых прямоугольников. Тогда можно
записать выражение, которое определяет, как соотносятся точное значение
интеграла и приближенное, полученное методом левых прямоугольников:

     I = f (x0 ) ⋅ h + f ′(x0 )
                                      h2
                                      2
                                                          ( )
                                         + ... = I * + O h 2                             (2.1.6)



                                                                           10