Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

12
(2.1.5) было
hN /1=
и на каждом применении вносилась погрешность
( )
2
hO
. Порядок
аппроксимации составной квадратуры, таким образом, будет
( ) ( )
( )
hOhhOhNO == /
22
,
всегда на один порядок ниже, чем у одиночной квадратуры.
Метод центральных прямоугольников
Рассмотрим теперь аппроксимацию интегралов квадратурой центральных
прямоугольников. Разместим отрезок интегрирования
h
на оси
x
так, что
0=x
будет приходиться точно на середину отрезка. Повторяем вышеописанный прием:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
...0
1920
1
0
24
1
0...0
2
1
00
5)4(3
2/
2/
2
2/
2/
hfhfhfdxxfxffdxxfI
h
h
h
h
+
′′
+=
+
′′
+
′
+==
∫∫
+
−
+
−
(2.1.10)
Таким образом, одиночная квадратура центральных прямоугольников имеет
третий порядок аппроксимации:
( )
3*
hOII +=
(2.1.11)
Составная квадратура центральных прямоугольников будет иметь порядок
аппроксимации 2, на единицу меньше чем у одиночной квадратуры. Что и должно
быть видно из выполнения Задания 2.1 – увеличение объема вычислений в 10 раз
увеличивало точность вычислений в 100 раз.
Метод трапеций
Разместим отрезок
h
так же, как и при анализе в методе центральных
прямоугольников. В методе трапеций интеграл аппроксимируется площадью
прямоугольной трапеции:
(2.1.12)
Точное значение интеграла при этом представляется степенным рядом (2.1.10):
( ) ( )
( )
...
1920
0
24
00
5
)4(
3
h
f
h
fhfI +
′′
+⋅=
(2.1.13)
Нам нужно сравнить (2.1.13) и (2.1.12). Для этого, опять же с помощью ряда
Тейлора, найдем значения функции
( )
xf
в точках
2/hx ±=
:
( ) ( ) ( ) ( )
...
8
0
2
002/
2
±
′′
+
′
±=±
h
f
h
ffhf
(2.1.14) 
(2.1.5) было N = 1 / h и на каждом применении вносилась погрешность O(h 2 ) . Порядок
аппроксимации составной квадратуры, таким образом, будет NO (h 2 ) = O(h 2 )/ h = O(h ) ,
всегда на один порядок ниже, чем у одиночной квадратуры.


    Метод центральных прямоугольников
    Рассмотрим теперь аппроксимацию интегралов квадратурой центральных
прямоугольников. Разместим отрезок интегрирования h на оси x так, что x = 0
будет приходиться точно на середину отрезка. Повторяем вышеописанный прием:
          +h / 2              +h / 2
                                                                              
                f ( x )dx =               (  )      (  )          (  )                  (  )           (  )           f ( 4 ) (0 )h 5 ...
                                                            1                                   1                  1
     I=     ∫                   ∫              +   ′      +     ′′        +         =         +      ′′        +
                                                                        2                                    3
                                      f  0     f   0  x     f    0  x     ... dx   f  0  h      f    0  h
          −h / 2              −h / 2
                                                            2                                  24               1920

                                                                                                                                 (2.1.10)
    Таким образом, одиночная квадратура центральных прямоугольников имеет
третий порядок аппроксимации:
     I = I * + O h3 ( )                                                                                                          (2.1.11)
    Составная квадратура центральных прямоугольников будет иметь порядок
аппроксимации 2, на единицу меньше чем у одиночной квадратуры. Что и должно
быть видно из выполнения Задания 2.1 – увеличение объема вычислений в 10 раз
увеличивало точность вычислений в 100 раз.


    Метод трапеций
    Разместим отрезок h так же, как и при анализе в методе центральных
прямоугольников. В методе трапеций интеграл аппроксимируется площадью
прямоугольной трапеции:

     I * = ( f (− h / 2 ) + f (h / 2 )) ⋅
                                              h
                                                                                                                                   (2.1.12)
                                              2
    Точное значение интеграла при этом представляется степенным рядом (2.1.10):
                                    h3                 h5
     I = f (0 ) ⋅ h + f ′′(0 )         + f ( 4 ) (0 )      ...                                                                     (2.1.13)
                                    24                1920
    Нам нужно сравнить (2.1.13) и (2.1.12). Для этого, опять же с помощью ряда
Тейлора, найдем значения функции f (x ) в точках x = ± h / 2 :
                                                          2
     f (± h / 2 ) = f (0 ) ± f ′(0 ) + f ′′(0 ) ± ...
                                    h          h
                                                                                                                                 (2.1.14)
                                    2          8

                                                                           12

Страницы