Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 15 стр.

     Еще один способ определения термина «порядок аппроксимации» состоит в
следующем.           Величина          погрешности             различных               квадратур   определяется
производными различных порядков. В квадратуре Симпсона, например, это
производные 4-го и более высокого порядка. Это значит, что применение
квадратуры Симпсона к полиномам степени не выше 3 должно давать точный
результат независимо от числа отрезков разбиения N в составной квадратуре.
Значит, порядок аппроксимации можно определить максимальной степенью
полинома, для которого аппроксимация точна.


     Задание 2.1.2
     Требуется найти на отрезке [0,1] значение интеграла от функции f ( x ) = 1 + x + x 2 + x 3 . Найти
точное значение интеграла. Выполнить численное интегрирование с помощью методов трапеций и
Симпсона. Записать погрешность вычислений в виде таблицы, такой же, как в предыдущих
заданиях.



     2.2 Квадратуры Гаусса


     Все рассмотренные выше квадратурные формулы были построены с помощью
геометрических аналогий (только для квадратуры Симпсона был предложен способ
взвешенной суммы, но сама квадратура может быть получена и без него). При этом
порядок аппроксимации получался «какой есть», то есть сам подход геометрических
аналогий        не    содержит          каких-либо           начальных           ограничений       на     порядок
аппроксимации. Попробуем решить задачу в обратном порядке. Зададимся
требованием получить максимально высокий порядок аппроксимации при заданном
числе узлов квадратуры n . Сначала разберем случай n = 2 . Квадратуру для отрезка
[− h / 2,+ h / 2] можно записать в виде, напоминающем формулу трапеций:
            2
                                                                h              h
     I = ∑ Ak f ( xk ) = A1 f ( x1 ) + A2 f ( x2 ) = A1 f  − α 1  + A2 f  + α 2 
      *
                                                                                                        (2.2.1)
         k =1                                                   2              2

     В отличие от формулы трапеций положение узлов здесь не зафиксировано, оно
будет найдено из условия максимальной точности квадратуры.




                                                              15