Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 18 стр.

квадратуры. Расположение узлов также должно быть симметричным относительно
центра отрезка, значит один узел должен приходиться на точку x = 0 . Тогда 3-
узловая квадратура будет отличаться от 2-узловой наличием только одного
дополнительного параметра – веса при узле x = 0 . Это значит, что можно будет
добиться совпадения еще одного слагаемого в степенных рядах точного и
приближенного значения интеграла. Подобные рассуждения можно продолжить и
убедиться, что добавление одного узла приводит к «уточнению» степенного ряда
приближенного выражения интеграла на одно слагаемое. В итоге N -узловая
квадратура Гаусса должна иметь порядок аппроксимации 2 N + 1 .
       Приведем без вывода выражение для 3-узловой квадратуры Гаусса на отрезке
[− h / 2, h / 2] :

        I* =
                     (            )               (             )
               5 f − (h / 2) 3 / 5 + 8 f (0 ) + 5 f (h / 2 ) 3 / 5
                                                                             ( )
                                                                   ⋅ h = I + O h7   (2.2.12)
                                      18
       Выглядит она похоже на квадратуру Симпсона, однако имеет порядок точности
выше на 2, и, как и 2-узловая квадратура Гаусса не имеет простых геометрических
аналогов.
       Построение N -узловой квадратуры Гаусса сводится к решению системы
нелинейных уравнений и для числа узлов не более 4 выполняется сравнительно
просто аналитически. Чтобы построить квадратуры Гаусса с числом узлов 5 и более,
обычно используют численные методы решения систем нелинейных уравнений или
задач оптимизации – один из важных разделов численных методов, который будет
подробно рассматриваться ближе к концу курса.
       Интересно отметить, что задача об оптимальном выборе узлов и весов
квадратур была решена Гауссом в середине 19 века. Квадратура центральных
прямоугольников представляет собой 1-узловую квадратуру Гаусса.


       Задание 2.2.2
       Дополнить решения Заданий 1.1, 2.1, 2.1.1 и 2.2.1 методом 3-узловой квадратуры Гаусса.
Найти в численном эксперименте порядок аппроксимации 3-узловой квадратуры и сравнить его с
теоретическим.


       Дополнительное задание

                                                                    18