Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 29 стр.

    Получим решения x = 11.01, y = 0 .
    Это были примеры неустойчивых задач, которые показывают необходимость
анализа задачи на устойчивость перед ее решением. Вне зависимости от методов
решения малое возмущение во входных данных влечет большое изменение в
результате.           Численное                 решение     таких         задач    сводится    к   использованию
представлений вещественных чисел надлежащей точности.
    Неустойчивым может быть и метод решения задачи. Рассмотрим исторический
пример.          До       широкого              распространения           вычислительной       техники    имелись
справочники, в которых печатались численные значения функций для разных
значений аргумента. Справочники пользовались популярностью, в особенности при
вычислениях               специальных              функций.          Одной        из   таких   спецфункций       был
встречающийся в математической статистике интеграл:
                 1
             1 n x
             e ∫0
     In =         x e dx                                                                                 (5.5)

    Интеграл в (5.5) может быть взят по частям:
     1                             1                   1

    ∫ x e dx = x e              − n ∫ x e dx = e − n ∫ x n−1e x dx
         n   x        n   x 1          n −1 x
                            0
                                                                                                         (5.6)
     0                             0                   0


    Что приводит к простой рекуррентной формуле:
     I n = 1 − nI n−1                                                                                    (5.7)
    При этом I 0 легко находится аналитически:
                 1
          1               1
     I 0 = ∫ e x dx = 1 −                                                                                (5.8)
          e0              e

    Известное значение I 0 и существование рекуррентной формулы представляли
собой настолько большой соблазн, что многие независимые группы, составляющие
табличные значения спецфункций, даже не подумали использовать, к примеру,
квадратурные формулы. В результате различные опубликованные таблицы
спецфункций содержали значения I14 в диапазоне от –148 до 5356. Результат был
явно неверным – значение подынтегральной функции на отрезке интегрирования
всегда положительно и не превышает e , то есть результат вычисления функции
должен быть в интервале от единицы до нуля для любого n .


                                                                     29